Элементы функциональных рядов.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА

Задание функционального ряда от некоторой переменной состоит в задании последовательности функций от этой переменной, являющимися членами функционального ряда. Другими словами, каждому натуральному числу по определённому закону ставится в соответствие некоторая функция . Множество этих функций, заданных на одном и том же множестве , которое является областью опре -деления этих функций: , называется функциональной последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение

(1)

называется функциональным рядом относительно перемен- ной .

Придавая в выражении (1) переменной различные фик- сированные числовые значения, будем получать числовые ря- ды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех значений переменных , при которых ряд окахывается сходящимся, называется об- ластью сходимости функционального ряда.

ПРИМЕРЫ:

1. .

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , который сходится при . Поэтому область сходимости данного ряда: .

2. .

Это обобщённый гпрмонический ряд, который сходится при . Поэтому множество представляет собой область

сходимости данного ряда.

Если некоторое число входит в область сходимости функционального ряда, то есть смысл говорить о сумме функционального ряда в данной точке.

Частичной суммой ряда (1) в точке называется сумма вида:

, (2) а суммой ряда в данной точке называется предел частичных сумм: .

Таким образом, сумма функционального ряда (1) - это функция переменной , область определения которой совпа-

дает с областью сзодимости данного ряда.

Критерий Коши сходимости функционального ряда: Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области , необходимо и достаточно, чтобы для любого и любого можно было бы найти номер такой, что для всех и для всех натуральных выполнялось бы неравенство:

. (3)

В частности, для остатка сходящегося в области ряда (1) из этого критерия при следует оценка:

, (4) в случае, если .

Сходящийся в области функциональный ряд называется равномерно сходящимся в данной области, если для любого

существует, не зависящий от , номер , та -кой, что для всех для остатка ряда (1)

(5)

выполняется оценка для всех .

Для равномерной сходимости ряда (1) также имеет место критерий Коши, только в условии критерия номер не зависит от и неравенство (3) выполняется для всех .

Замечание. Равномерная сходимость функционального ряда равносильна равномерной сходимости его частичных сумм.

Проверка выполнения критерия Коши затруднительна даже для числовых рядов. Эффективный способ проверки равномер- ной сходимости функционального ряда представляет собой признак Вейерштрасса.

ТЕОРЕМА 1. (признак Вейерштрасса равномерной схо – димости). Если положительный числовой ряд сходит –ся и для всех членов функционального ряда (1) имеет место оценка:

для всех и всех , (6) то ряд (1) сходится равномерно в области . При этом ряд (1) называется мажорируемым в области .

В самом деле, учитывая условия (6) и сходимость ряда

, получаем:

для и всех .

Это означает, что выполнен критерий Коши равномерной схо- димости и ряд (1) является равномерно сходящимся в об -ласти. .

ПРИМЕР. Проверить равномерную сходимость на отрезке ряда , используя признак Вейерштрасса.

Для всех и всех для элементов данного ряда выполняется неравенство:

.

Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера

Данный ряд сходится. Следовательн исходный ряд сходится равномерно.

ТЕОРЕМА 2. Пусть все члены функционального ряда (1)

определены и непрерывны на промежутке и сос- тавленный из них функциональный ряд равномерно сходится. Тогда сумма данного ряда - функция, непрерывная на том же промежутке.

Из непрерывности членов функционального ряда следует непрерывность каждой из её частичных сумм:

.

По условию, эта последовательность равномерно сходится на промежутке . Следовательно, сумма ряда - функ- ция также непрерывна на этом промежутке.

Без доказательства приведём ещё две теоремы.

ТЕОРЕМА 3 (о почленном интегрировании рядов). Если функциональный ряд сходится равномерно на некотором промежутке и его сум- ма равна , то для любого промежутка функциональный ряд (относительно ) из интегралов

также сходится равномерно на том же промежутке и его сумма равна (т.е. равномерно сходящиеся функци- ональные ряды можно почленно интегрировать).

ПРИМЕР. Рассмотрим функциональный ряд:

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию, которая равномерно сходится при . Его сумма

.

После интегрирования получаем:

. (7)

ТЕОРЕМА 4 (о почленном дифференцировании рядов). Пусть ряд (1) сходится на промежутке , имеет сумму и его члены име- ют на этом промежутке непрерывные производные, причём составленный из этих производных ряд

(8)

равномерно сходится и его сумма равна .

Тогда ряд (1) также равномерно сходится на том же про- межутке и его производная его суммы равна сумме ряда (8):

, т.е. равномерно сходящиеся функциональные ряды можно почленно дифференцировать.

ПРИМЕР. Вспомним известное разложение в ряд функции:

, который, очевидно, сходится равномерно при . Тогда, применяя теорему, получим:

.

§ 2 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функцио – нальный ряд вида:

, (1)

где - действительные числа, которые называются коэф – фициентами ряда. Степенным рядом можно назвать также ряд

(2)

Следует заметить, что всякий степенной ряд вида (1) всег- да сходится в точке (а ряд вида (2) - в точке ). Поэтому область сходимости степенного ряда всегда является непустым множеством.

Чтобы определить вид области сходимости степенного ря- да, докажем следующую теорему:

ТЕОРЕМА 1 (Абеля о сходимости степенного ряда).

1. Пусть степенной ряд (1) сходится в точке . Тогда он сходится в любой точке , удовлетворяющей нера- венству (причём абсолютно).

2. Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке , то он расходится и для всех , удовлетворяющих нера -венству .

Докажем эту теорему.

1. По условию, ряд сходится, следовательно, по необходимому признаку сходимости, . Но любая сходящаяся последовательность ограничена. Поэтому сущест- вует некоторое число , такое что для всех выполняется неравенство:

. (3)

Ряд (1) можем записать в виде:

.

Так как, по предположению, , то получаем нера- венство:

.

Сумма ряда - это сумма геометрической прогрессии с . Данный ряд сходится. Поэтому сходится и ряд

, следовательно, ряд (1) сходится абсолютно.

2. Докажем от противного. Пусть ряд (1) сходится при некотором значении . Тогда, как только что было доказано, он должен сходиться и для всех , т.е. и для . Получаем противоречие с предположением тео- ремы. Следовательно, ряд расходится для всех .

Из теоремы Абеля можем сделать заключение о виде об- ласти сходимости степенного ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Радиусом сходимости степенного ряда называется некоторое число такое, что для всех , удов- летворяющих неравенству , ряд сходится, а для всех

ряд расходится.

Значение радиуса сходимости можно определить, используя известные признаки сходимости положительных числовых рядов.

Используя признак Даламбера, радиус сходимости можно найти следующим обраом: пусть . Тогда

.

По признаку Даламбера, ряд сходится, если предел данного отношения меньше 1. Следовательно, сходится при и расходится при . Тогда радиус сходимости определяет- ся формулой

. (4)

Аналогичным образом, используя радикальный признак Ко –ши, получаем ещё одно выражение для радиуса сходимости степенного ряда:

. (5)

Если , то степенной ряд сходится только в одной точке для ряда (1), или, при для ряда (2).

ПРИМЕРЫ:

1. Найти область сходимости ряда: .

Для этого ряда, Тогда

и ряд сходится только в точке .

2. Найти область сходимости ряда: .

. Тогда

Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В интервале сходимости, т.е. при степенной ряд сходится абсолютно. Если или ряд может сходиться или расходиться, поэтому требуется дополнительное исследование ряда на сходимость в этих точках.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть степенной ряд имеет радиус сходи -мости , тогда для любого , удовлетворяющего неравенству , степенной ряд (1) равномерно сходится для всех . (получается как следствие теоремы Вейерштрасса.). Отсюда получаем следующее следствие:

СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда яаляется непрерывной функцией внутри промежутка сходимости.

Учитывая замечание 2 и теоремы предыдущего параграфа, получаем следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и , то данный ряд можно почленно интегрировать по промежутку , т.е.

При этом полученный ряд имеет тот же радиус сходимости.

ТЕОРЕМА 3. Если степенной ряд (1) имеет радиус схо -димости и , то данный ряд можно почленно дифференцировать внутри промежутка сходимости, т.е.

причём полученный ряд имеет тот же радиус сходимости .

ЗАМЕЧАНИЕ. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, причём ряды, полученные в результате дифференцирова– ния, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд.

Обычно нет смысла специально находить радиус сходимос -ти степенногл ряда. Область сходимости ряда непосредст- венно получается из неравенств:

(а), или . (б) (6)

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти область сходимости ряда: .

Для данного ряда .

Тогда область сходимости:

или . В данном про –межутке ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда на границах этого промежутка.

Пусть . Тогда из исходного ряда получаем числовой ряд ~ . В правой части

стоит гармоничесуий ряд, о котором известно, что он расхо – дится. Следовательно, данный ряд расходится при .

Пусть . Тогда ряд имеет вид:

.

Получили знакопеременный ряд, который, как было проверено выше, не имеет абсолютной сходимости. Проверим выполне -ние условий признака Лейбница:

(1) для всех ;

(2) .

Таким образом, по признаку Лейбница, в точке ряд сходится условно, и область сходимости данного ряда

2. Найти область сходимости ряда .

.

Тогда область сходимости:

Область сходимости определяется следующим образом:

. Исследуем ряд на сходимость на границе области.

Пусть . Тогда получаем ряд:

~ .

Ряд, стоящий справа, сходится, как обобщённый гармоничес -кий ряд со степенью . Тогда сходится и ряд, стоя -щий слева.

При получаем такой же ряд:

~ и ряд также сходится. Поэтому область сходимости данного ряда: .

3. Найти область сходимости ряда .

По формуле (6) б, область сходимости имеет вид:

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

Пусть . Тогда получаем ряд

.

. Поэтому ряд расходится.

При ряд имеет вид:

.

Данный знакочередующийся ряд расходится, так как не вы -полнено второе условие признака Лейбница: .

Следовательно, область сходимости ряда .

§ 3. РЯД ТЕЙЛОРА. ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ

РЯДОВ В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.

Пусть - некоторая функция, имеющая непрерывные производные произвольного порядка.

Предположим, что в интервале функцию можно разложить в ряд по степеням , т.е.

(1)

Выразим коэффициенты этого ряда через значения функции и её производных.

Продифференцируем этот ряд в интервале сходимости раз. Получаем:

При имеем:

Таким образом, получаем следующие коэффициенты ряда (1):

Подставив эти выражения в формулу (1), получим:

Ряд, стоящий в правой части данного равенства, называет -ся рядом Тейлора для функции .

В частности, в случае , получаем так называемый ряд Маклорена:

ЗАМЕЧАНИЕ. Необходимые и достаточные условия возмож - ности представления функции в виде степенного ряда задаёт теорема Тейлора, которая рассматривалась в разделе дифференциального исчисления функции одной переменной.

ПРИМЕР. Написать разложение по степеням функции:

В данном примере . Преобазуем функцию, раскрыв скобки:

Найдём производные:

Все остальные производные равны нулю. Поэтому получаем следующий ряд:

Разложения в ряды Тейлора (Маклорена)

---

Дата добавления: 2015-07-18