Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:

1) 2) 3) 4)

4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13)

2. Доказать расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:

1)

2)

3)

4) .

4. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:

1) 2)

3) 4)

§ 2. Ряды с неотрицательными членами

Рассмотрим ряд , где Для исследования данного ряда на сходимость существует достаточно много эффективных признаков.

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху:

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Так как то

поэтому ряд сходится.

Признаки сравнения

1. Если для всех выполняется неравенство то из сходимости ряда следует сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда

2. Если для всех и существует конечный предел то: а) при из сходимости ряда следует сходимость ряда

б) при из расходимости ряда следует

расходимость ряда При ряды

сходятся либо расходятся одновременно.

Применение признаков сравнения предполагает наличие рядов, о поведении которых заранее известно и которые могут использоваться для сравнения. Одним из таких рядов является обобщённый гармонический ряд сходящийся при и расходящийся, если Исследование на сходимость обобщённого гармонического ряда будет проведено в примере 14.

В примерах 2-8 исследовать ряды на сходимость, пользуясь признаками сравнения:

Пример 2. .

Для выполнено неравенство: а ряд сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

Пример 3. .

Так как то поэтому для всех справедливо неравенство:

а из расходимости ряда следует расходимость данного ряда.

Пример 4. .

Для имеет место неравенство:

Покажем, что ряд сходится. Для сравнения используем сходящийся ряд поэтому согласно второму признаку сравнения ряд сходится.

Следовательно, исходный ряд сходится по первому

признаку сравнения.

Пример 5.

Общий член данного ряда при эквивалентен а ряд сходится, поэтому сходится и исходный ряд.

Пример 6. .

Так как при то при Но ряд расходится, следовательно, расходится и исходный ряд.

Пример 7. .

Преобразуем общий член ряда:

откуда следует, что при Ряд сходится, если т.е. и расходится, если т.е. Итак, данный ряд сходится при

Пример 8. .

Воспользуемся известным неравенством: , если и . Тогда , с другой стороны:

.

Поэтому .

Так как ряд сходится, то сходится и данный ряд.

Замечание: для доказательства использованного неравенства можно исследовать на экстремум функцию и показать, что .

Признак Даламбера

Если для ряда существуют такое число и такой номер что для всех выполняется неравенство то этот ряд сходится, если же для всех имеет место неравенство то ряд расходится.

Следствие. Если существует то при ряд сходится, а при расходится. При признак Даламбера ответа не даёт.

В примерах 9-11 исследовать ряды на сходимость с помощью признака Даламбера:

Пример 9. .

Будем использовать следствие: ,

следовательно, ряд расходится.

Пример 10. , .

- исходный ряд сходится.

Пример 11.

Если то ряд сходится, если же - расходится.

Признак Коши

Если для ряда существуют такие число и номер что для всех выполняется неравенство то этот ряд сходится, если же для всех имеет место неравенство то ряд расходится.

Следствие. Если существует то при ряд сходится, а при ряд расходится. При признак Коши ответа не даёт.

В примерах 12-14 исследовать ряды на сходимость с помощью признака Коши:

Пример 12. .

Учитывая, что для и будем иметь:

поэтому ряд сходится.

Пример 13. .

следовательно, ряд сходится.

Пример 14.

для поэтому ряд сходится.

Признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера: из существования следует существование причём Обратное неверно: например, для ряда величина а не существует. Так что если для какого-то ряда то нет смысла использовать признак Даламбера, он ответа не даст.

Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть функция , определённая для непрерывная, положительная и монотонно убывающая. Тогда, если функция при имеет конечный предел, то ряд сходится. Если же то ряд расходится.

Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходимость ряды в примерах 15-16.

Пример 15. .

Для первообразная имеет вид:

поэтому при , и ряд расходится, если же то , и ряд сходится.

Пример 16.

Если то поэтому согласно результатам предыдущего примера данный ряд сходится при и расходится при

Интегральный признак Коши-Маклорена является, как видно из его формулировки, необходимым и достаточным признаком. Это значит, что он устанавливает сходимость любого сходящегося ряда и расходимость любого расходящегося ряда из сферы своей применимости. Однако при изучении рядов ограничиться одним только интегральным признаком сходимости нельзя, поскольку применение его не всегда возможно.

Рассмотрим два признака, являющихся и удобными в обращении, и значительно более чувствительными, чем признаки Коши и Даламбера.

Признак Раабе

Если для ряда , существует , то при ряд сходится, а при расходится. При признак ответа не даёт.

В примерах 17-19, пользуясь признаком Рабе, исследовать ряды на сходимость.

Пример 17. .

Так как то и признак Даламбера ответа не даёт. Однако и ряд расходится.

Пример 18. .

- данный ряд сходится.

Пример 19. ,

следовательно, ряд сходится, если и расходится, если При признак Раабе не даёт ответа.

Признак Гаусса

Если для ряда отношение может быть представлено в виде: где то: а) при ряд сходится, а при расходится; б) при ряд сходится в случае, когда и расходится, если

Исследовать на сходимость ряды, используя признак Гаусса:

Пример 20. .

В примере 10 был исследован ряд , и на основании признака Даламбера показано, что ряд сходится при и расходится при В случае признак Даламбера неприменим - Воспользуемся признаком Гаусса:

Так как

то

Итак, и ряд расходится.

Пример 21. .

Следовательно, , и ряд сходится, если и расходится при

Пример 22.

Так как и

где то

Если т.е. то ряд сходится. Если же то ряд расходится.

Как следует из примеров 19-21, применение признака Гаусса требует порой использования формулы Тейлора. Метод выделения главной части при исследовании на сходимость положительных рядов является достаточно эффективным. Если с помощью формулы Тейлора удаётся получить асимптотическую формулу вида при то при ряд сходится, а при расходится.

В примерах 23-25 исследовать ряды на сходимость, получив асимптотическую формулу вида при

Пример 23. .

поэтому при Но ряд сходится для по признаку сравнения с рядом : Следовательно, при исходный ряд сходится, если же то и ряд расходится.

Пример 24. .

Отметим, что при данный ряд расходится, ибо для него не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть Тогда при (так как при ). Исследуем на сходимость ряд Если то данный ряд сходится по второму признаку сравнения с рядом , где и такое, что Если же то ряд расходится по первому признаку сравнения: Таким образом, исходный ряд сходится, если

Пример 25. .

Учитывая, что получим:

поэтому

при а это значит, что данный ряд сходится.

Дата добавления: 2015-07-18