Свойства сходящихся рядов

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Методическая разработка

Составитель:

доцент Путятина Е.Н.

Томск 2012

Одобрено кафедрой общей математики

Зав. кафедрой доцент Е.Н.Путятина

Рассмотрено и утверждено методической комиссией ММФ

Протокол № от ______ 2012 г.

Председатель комиссии О.П.Федорова

В методической разработке изложена теоретическая часть занятий по теме «Числовые ряды и бесконечные произведения» и предложены разнообразные задачи.

Методические указания разработаны для студентов физического факультета, физико-технического факультета, радиофизического факультета дневной формы обучения.

Свойства сходящихся рядов

Определение 1.

Пусть задана последовательность комплексных чисел . Составленный из этих чисел символ называется числовым рядом, а число - его общим членом.

Определение 2.

Сумма первых членов ряда

называется -той частичной суммой этого ряда, а ряд называется -тым остатком ряда.

Определение 3.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: Значение этого предела называется суммой ряда. Если последовательность не имеет предела или , то ряд называется расходящимся.

В примерах 1-6 доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму.

Пример. 1

Так как то

поэтому

Пример 2.

Рассмотрим разность

откуда находим:

Так как при то существует

Пример 3. .

Используя равенство

получим:

В первой сумме сделаем замену на (т.е. суммирование будет осуществляться от до ), а во второй сумме заменим на , будем иметь:

откуда

Пример 4. .

Учитывая, что для получим:

поэтому существует

Пример 5. .

Частичная сумма ряда равна:

Рассмотрим произведение:

но поэтому

и

откуда

Следовательно, существует

Пример 6.

Используем формулу

Для получим: для

Следуя методу математической индукции, предположим, что и докажем, что Действительно,

Тогда существует

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то

Этот признак удобно использовать для доказательства расходимости ряда. Ведь если не существует или то ряд расходится.

В примерах 7-10 доказать расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:

Пример 7. .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10.

(использовали эквивалентность при ).

Критерий Коши сходимости ряда

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для

Пример 11. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда

Рассмотрим сумму:

если

Таким образом, для

Если условие Коши не выполняется, т.е.

, но то ряд расходится.

Пример 12. Доказать, используя отрицание условия Коши, что ряд расходится.

Рассмотрим сумму:

Пусть тогда

Следовательно, , и такие, что будет выполняться неравенство:

Для случая комплексных сходимость ряда эквивалентна одновременной сходимости вещественных рядов и ибо Поэтому исследование на сходимость рядов с комплексными членами, как правило, сводится к рассмотрению рядов с вещественными членами. Однако иногда для нахождения суммы вещественного ряда можно использовать ряды с комплексными членами. Приведём примеры.

В примерах 13-15 найти сумму ряда:

Пример 13. .

Сумма геометрической прогрессии со знаменателем где равна:

Пример 14. .

Для имеем:

поэтому

Пример 15. .

Воспользуемся формулой Эйлера:

тогда

- сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем для которого Поэтому

Выделяя вещественную и мнимую части, получим:

Для сходящихся рядов справедливы следующие важные теоремы:

1. Пусть . Если ряд сходится, то ряд также сходится и его сумма равна: (Другими словами, числовой множитель можно выносить за скобку и в случае бесконечного числа слагаемых).

2. Два сходящихся ряда можно складывать или вычитать почленно, так что ряд также сходится и его сумма равна Замечание к теоремам 1,2: множество сходящихся рядов представляет собой линейное пространство.

3. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков и обратно, из сходимости остатка ряда вытекает сходимость исходного ряда.

4. Пусть возрастающая последовательность натуральных чисел. Если ряд сходится, то всегда сходится ряд имеющий ту же сумму, что и исходный ряд. Иными словами, сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Замечание к теореме 4: обратное утверждение неверно. Если дан сходящийся ряд, члены которого каждый в отдельности представляет собой сумму конечного числа слагаемых, то, опустив скобки, мы получим новый ряд, который может оказаться и расходящимся. Например, ряды или сходятся, а после удаления скобок получаем расходящийся ряд: . Если же, опустив скобки, мы всё-таки получаем сходящийся ряд, то его сумма будет такой же, что и у ряда

Внимание! В случае, когда все слагаемые в ряде внутри одних и тех же скобок одного знака, из сходимости ряда будет следовать и сходимость ряда полученного путём отбрасывания скобок. Этим важным свойством можно воспользоваться при решении некоторых сложных задач.

Дата добавления: 2015-07-18