Бесконечные произведения

Определение 1. Если есть некоторая заданная последовательность чисел, то составленный из них символ называется бесконечным произведением.

Определение 2. Последовательность сопоставленную последовательности будем называть частичным произведением.

Определение 3. Предел (конечный или бесконечный) называют значением бесконечного произведения и пишут Если конечно и притом отлично от нуля, то бесконечное произведение называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Таким образом, если то произведение расходится. Такая терминология идёт в разрез с терминологией, принятой для бесконечных рядов, но она облегчает формулировку многих теорем. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать ибо иначе и исследования не требуется.

Пример 1. Найти .

Так как , то

, поэтому .

Пример 2. Найти .

Получим выражение для :

, поэтому .

Пример 3. Найти .

Используя формулу , для частичного произведения получим следующее выражение: , откуда

следует: .

Подставив вместо значение , придём к разложению:

.

Это разложение можно переписать в виде:

,

если воспользоваться формулой , а также тем, что .

Рассмотрение бесконечного произведения – подобно рядам – есть новая форма изучения предела последовательности, причём иногда эта форма оказывается удобнее, чем другие.

Сформулируем основные теоремы о бесконечном произведении.

Теорема 1. Если сходится произведение то и остаточное произведение также сходится для и обратно, из сходимости остаточного произведения вытекает сходимость исходного произведения.

Таким образом, отбрасывание конечного числа начальных сомножителей или присоединение вначале нескольких новых сомножителей не влияет на поведение бесконечного произведения.

Теорема 2. Если бесконечное произведение сходится, то

Теоремы 1-2 являются аналогами теоремы об остатке ряда.

Теорема 3 (необходимый признак сходимости). Если бесконечное произведение сходится, то

Пример 4. Исследовать сходимость бесконечного произведения .

Очевидно, данное произведение расходится, ибо .

Приведём теоремы, устанавливающие связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.

Для сходящегося произведения множители , начиная с некоторого, будут положительны. Поэтому, не нарушая общности, ввиду теоремы 1, впредь мы будем полагать:

Теорема 4. Для того, чтобы бесконечное произведение сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд Если есть сумма этого ряда, то

При исследовании сходимости бесконечного произведения удобно записывать его в виде а ряд в виде В частном случае, когда имеет определённый знак, исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости ряда

Теорема 5. Если по крайней мере для имеет место (либо ), то для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда

Для общего случая, когда имеют разные знаки, справедлива теорема 6.

Теорема 6. Если вместе с рядом сходится и ряд то бесконечное произведение сходится.

Остановимся на случае, когда бесконечное произведение расходится к нулю.

Теорема 7. Для того, чтобы бесконечное произведение (или ) имело бы нулевое значение, необходимо и достаточно, чтобы ряд (или ) имел бы суммой

В примерах 6-9 исследовать сходимость бесконечных произведений.

Пример 5. .

Очевидно, что при не выполнен необходимый признак сходимости, поэтому . Далее, по теореме 5 данное произведение сходится при и расходится, когда , ибо эти условия являются условиями сходимости и расходимости ряда .

Пример 6. , где при .

Преобразуем общий член бесконечного произведения: .

Так как для , то , начиная с некоторого номера , имеет либо положительные, либо отрицательные значения в зависимости от знака разности , поэтому можно воспользоваться теоремой 5. Ряд , а вместе с ним и бесконечное произведение, сходится только при и расходится, если .

Пример 7. .

Данное произведение сходится согласно теореме 6, ибо сходятся ряды и .

Пример 8. .

Условия теоремы 6 не выполнены, ею нельзя воспользоваться, ведь теорема даёт достаточные условия, которые не являются необходимыми. Исследуем на сходимость ряд .

Для его общего члена имеем: .

Ряд сходится, а ряд расходится, следовательно, исследуемый ряд, а с ним согласно теореме 4 и бесконечное произведение расходятся.

Пример 9. Доказать, что если ряд сходится, а ряд расходится, то .

Следуя теореме 7, докажем, что ряд имеет суммой .

Так как ряд сходится, то , поэтому по формуле Тейлора будем иметь:

, , откуда получим, что . Из этого равенства по второму признаку сравнения следует, что положительный ряд расходится, так как расходится ряд . Поэтому .

Но , откуда имеем:

, и так как , то . Следовательно, .

Определение 4. Произведение называется абсолютно сходящимся, если абсолютно сходится ряд

Теорема 8. Для абсолютной сходимости произведения необходима и достаточна абсолютная сходимость ряда

Отметим, что абсолютно сходящиеся бесконечные произведения обладают переместительным свойством, а не абсолютно сходящиеся – не обладают.

Пример 10. .

По теореме 8 при данное произведение сходится абсолютно вследствие абсолютной сходимости ряда . Согласно теореме 6 при произведение сходится, ибо сходятся ряды и . Если же , то произведение расходится к нулю согласно доказанному в примере 10, поскольку

ряд расходится при этих значениях .

Дата добавления: 2015-07-18