Читайте также:
|
|
Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
При исследовании рядов на абсолютную сходимость к ряду могут быть применены все признаки сходимости для положительных рядов.
Имеют место следующие важные теоремы:
1. абсолютно сходящийся ряд сходится;
2. абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством;
3. если ряды и сходятся абсолютно, то ряд, составленный из всевозможных произведений занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна
В примерах 1-4 доказать абсолютную сходимость ряда :
Пример 1. .
Ряд легко исследовать на сходимость по признаку сравнения с рядом , который сходится:
Пример 2. .
Для доказательства сходимости ряда применим признак Даламбера:
Следовательно, ряд сходится абсолютно.
Пример 3. .
Так как то Воспользуемся методом выделения главной части:
поэтому
следовательно,
Таким образом, при а ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 4. .
Так как то
а ряд сходится, что доказано в примере 2 § 1 для более общего случая Итак, данный ряд сходится абсолютно.
Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд расходится.
Теорема Римана.
Если ряд , сходится условно, то каково бы ни было наперёд заданное число (включая ), можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу
Для исследования рядов на сходимость существует несколько достаточных признаков. Рассмотрим их.
Определение 3 . Ряд вида где либо для называется знакочередующимся.
Признак Лейбница.
Знакочередующийся ряд сходится, если: а) б)
В этом случае для остатка ряда имеем оценку:
В примерах 5-7 исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.
Пример 5. .
Согласно признаку Лейбница требуется доказать, что и Правило Лопиталя приводит
к результату: Обозначив докажем, что убывает:
если т.е. Следовательно, последовательность монотонно убывает для а исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Пример 6. .
Так как при то и последовательность монотонно убывает, поэтому данный ряд сходится по признаку Лейбница.
Пример 7.
Преобразуем общий член ряда:
Ряд сходится по признаку Лейбница: последовательность монотонно убывает ( для ); а ряд с положительными членами расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.
Отметим, что если данный ряд сравнить со сходящимся рядом то отношение их общих членов стремится к 1 (т.е. при - последовательность членов данного расходящегося ряда эквивалентна последовательности членов сходящегося ряда). Внимание! Делать вывод о сходимости или расходимости ряда по поведению ряда , где при возможно только для рядов с положительными членами!!
Убедимся в том, что каждое из трёх условий в признаке Лейбница является существенным. Во-первых, существенность условия вытекает из необходимого признака сходимости рядов. Во-вторых, в признаке Лейбница нельзя отбросить условие знакочередуемости. Для иллюстрации этого рассмотрим ряд: . Абсолютные величины членов ряда не возрастают и стремятся к нулю, но его частичные суммы равны а остальные частичные суммы принимают промежуточные значения (между нулём и единицей), поэтому ряд расходится. То, что не является лишним требование монотонности, демонстрируют уже рассмотренный в примере 7 ряд а также следующий ряд: .
Сумма его членов равна:
-
- удвоенной сумме членов расходящегося гармонического ряда. Следовательно, Здесь налицо нарушение монотонности при переходе от члена
к члену (их отношение меньше 1).
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
В данном ряде за группой отрицательных членов следует группа положительных и т.д. Объединим каждую такую группу членов одного знака в один член, тогда получим ряд: который будем исследовать на сходимость по признаку Лейбница. Так как
то члены рассматриваемого ряда при будут стремиться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Поэтому ряд сходится, а вместе с ним будет сходиться и исходный ряд (см. замечание к теореме о сочетательном свойстве рядов в § 1).
Для общего случая знакопеременных рядов либо для рядов с комплексными членами справедливы признаки Абеля и Дирихле.
Признак Абеля. Ряд где сходится, если: а) ряд сходится; б) последовательность монотонна и ограничена.
Признак Дирихле . Ряд , где сходится, если: а) частичные суммы ряда в совокупности ограничены, т.е. б) последовательность при монотонно стремится к нулю.
Отметим: 1) признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при 2) признак Абеля вытекает из признака Дирихле, ведь из предположений Абеля следует, что существует а тогда - здесь второй ряд сходится по предположению а) признака Абеля, а к первому можно применить признак Дирихле.
В примерах 9-12 исследовать ряды на сходимость:
Пример 9. .
Применим признак Абеля. Ряд сходится по признаку Лейбница, а последовательность монотонно возрастает и ограничена:
поэтому данный ряд сходится.
Пример 10. .
Преобразуем общий член ряда: поэтому . Ряд сходится по признаку Лейбница, а к ряду применим признак Дирихле: при монотонно, а
Следовательно, ряд сходится, а значит сходится и исходный ряд.
Пример 11. .
Используя признак Абеля, покажем, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Для доказательства сходимости ряда применим признак Дирихле: последовательность монотонно при а частичные суммы ряда в совокупности ограничены: так как а поэтому ряд сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 12. .
К данному ряду также применим признак Абеля. Докажем, следуя признаку Дирихле, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Действительно, частичные суммы ряда ограничены в совокупности:
а последовательность
монотонно при поэтому ряд
сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху:
Следовательно, исходный ряд сходится по признаку Абеля.
В примерах 13-15 исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.
Пример 13. .
Преобразуем общий член ряда, используя формулу Тейлора:
Ряд сходится по признаку Лейбница при а обобщённый гармонический ряд сходится при Следовательно, данный ряд сходится при
Для исследования ряда на абсолютную сходимость используем оценку:
Ряды и по признаку сравнения с рядом сходятся при и расходятся при Поэтому из сходимости ряда при следует сходимость рассматриваемого ряда, а из расходимости ряда при следует расходимость ряда Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при
Пример 14. .
Простейшая оценка не даёт информации о поведении ряда Будем использовать признак Абеля. Положим:
Ряд сходится условно по признаку Дирихле: а при монотонно стремится к нулю. Последовательность монотонна и ограничена: Следовательно, данный ряд сходится по признаку Абеля.
Расходимость ряда следует из неравенства: и расходимости ряда ведь ряд расходится, а ряд сходится по признаку Дирихле: монотонно при а Следовательно, данный ряд сходится условно.
Пример 15.
Так как при необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд расходится.
Для исследования на сходимость применим признак Лейбница: 1) из очевидного при неравенства следует монотонное убывание последовательности ; 2) условие вытекает из неравенства
по принципу двустороннего ограничения также при . Следовательно, при данный ряд сходится.
Для ряда с использованием формулы Тейлора будем иметь:
, где , поэтому по признаку Гаусса ряд сходится при и расходится при .
Тогда исходный ряд сходится абсолютно при , а при сходится условно.
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 247 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Упражнения для самостоятельной работы | | | Бесконечные произведения |