Читайте также:
|
|
Определение: Система функций - называется линейно независимой, если линейная комбинация
коэффициенты
.
Определение: Систему функций - называют линейно зависимой, если
и есть коэффициенты
.
Возьмём систему двух линейно зависимых функций
т.к
или
- условие линейной независимости двух функций.
Примеры:
1) линейно независимы
2) линейно зависимы
3) линейно зависимы
Определение: Дана система функций - функций переменной х.
Определитель -определитель Вронского для системы функций
.
Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:
Свойства определителя Вронского:
1) Если - линейно зависимы на [a;b]
на этом отрезке.
2) Если - линейно независимые, решения дифференциального уравнения
при любых значениях х в области, где определены функции а1…аn
Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.
Если y1 и y2 – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то
общее решение имеет вид:
Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.
Если даны начальные условия то и
должны находится однозначно.
- начальные условия.
Составим систему для нахождения и
. Для этого подставим начальные условия в общее решение.
определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х0
т.к и
линейно независимы
(по 20)
т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и
находятся из системы однозначно.
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 121 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка | | | Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами |