Середні величини

Методичні вказівки

Середня – в статистиці – абстрактна, узагальнююча величина, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності. Коливання індивідуальних значень ознаки, викликані дією різних факторів, урівноважуються в середній величині, погашаються при усередненні і в середній виявляються загальні властивості, характерні для певного масового явища.

Основною умовою наукового застосування середніх величин є якісна однорідність сукупності, для якої обліковується середня. Отже, обчислення і використання середніх величин тісно пов’язані з методом статистичних групувань, за допомогою яких різнорідні явища розподіляються на якісно однорідні сукупності.

Середні величини для неоднорідних сукупностей не мають наукового і пізнавального значення.

Середні величини можуть бути абсолютними або відносними. Їх виражають в тих самих одиницях вимірювання, що й усереднені ознаки.

Основні завдання розрахунку середніх величин – це характеристика зміни явищ у динаміці, тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або кількох рівнів, зв’язків і залежностей між явищами, виявлення нового, прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.

В статистиці застосовують різні види середніх величин: середню арифметичну, середню гармонічну, середню геометричну, та ін. Вибір конкретного виду середньої величини залежить від характеру вихідних даних.

Критерій правильного вибору форми середньої величини – це запис логічної форми розрахунку. Кожна із зазначених середніх може набувати дві форми – просту і зважену.

Середня арифметична є найбільш поширеним видом середніх величин. Її застосовують тоді, коли загальний обсяг варіюючої ознаки для усієї сукупності становить суму індивідуальних значень усередненої ознаки. Наприклад, загальний збір урожаю цукрових буряків є сумою урожаїв цієї культури з кожного гектара площі, загальний надій молока є сумою надоїв молока від кожної корови і т.д.

Розрізняють середню арифметичну просту і зважену:

· Проста , де

х_і – варіанти, тобто значення ознаки і-ї одиниці сукупності;

n – число варіант, тобто обсяг сукупності.

Використовується за первинними, незгрупованими даними, коли відомі чисельник і знаменник дробу.

· Зважена , де

х_і – варіанта;

f_і – частота (вага) або питома вага (частость).

Використовується за згрупованими даними, коли знаменник дробу логічної формули середньої відомо, а чисельник – ні.

Середню гармонічну використовують для узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти не відомі.

Вона буває простою і зваженою.

· Проста: , де

n – число варіант, тобто обсяг сукупності

х_і – варіанта;

Використовується за незгрупованими даними, коли чисельник дробу логічної формули відомо, а знаменник – ні.

· Зважена: , де

W_i = x_if_i – обсяг значень ознаки.

Використовується за згрупованими даними, коли чисельник дробу логічної формули відомий, а знаменник – ні.

Середню геометричну використовують для обчислення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму, а добуток ознак.

· Проста: , де

П – символ добутку;

х_і – ланцюгові темпи зростання в рядах динаміки.

Середня квадратична використовується при визначенні показників варіації.

Проста: Зважена:

Поряд з цими середніми величинами в статистиці використовують також структурні середні – моду і медіану.

Мода (М_о) – значення варіанти (конкретне значення ознаки, що варіює), яке найчастіше повторюється в ряді розподілу. У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, в інтервальному ряді легко відшукати модальний інтервал, а приблизне значення моди обчислюється за формулою:

, де

x_Mo – нижня межа модального інтервалу;

h_Mo – розмір модального інтервалу;

f_Mo – частота модального інтервалу;

f_Mo-1 – частота попереднього інтервалу;

f_Mo+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Звичайно зустрічаються ряди з одним модальним значенням ознаки. Якщо у ряді два або більше модальних значень, він називається відповідно бімодальним та мультимодальним.

Медіана (Ме) – варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.

Так, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме =34, то це означає, що половина з них менші цього віку, половина старші цього віку.

Коли ряд містить парне число членів, медіана дорівнює середній із двох значень розташованих в середині ряду. Для знаходження медіани в дискретному ряді спочатку обчислюють півсуму частот, а потім визначають, яка варіанта припадає на неї. Для інтервального ряду медіану обчислюють за формулою:

, де

x_Me – нижня межа медіанного інтервалу;

h_Me – розмір медіанного інтервалу;

(∑f)/2 – півсума частот медіанного інтервалу;

S_Mе-1 – сума накопичених частот перед медіанним інтервалом;

f_Mе – частота медіанного інтервалу.

Примітка: медіанний інтервал визначається за графою S_Mе - накопичена частота.

Дата добавления: 2015-07-14