Параметрическое уравнение линии.

Уравнение линии на плоскости.

Пусть на плоскости p задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L.

Определение. Уравнение F(x;y)=0 (1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Уравнение (1) определяет линию L.

Пример. Уравнение окружности.

Окружность – множество точек, равноудаленных от заданной точки М₀(х₀,у₀).

Точка М₀(х₀,у₀) – центр окружности.

Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ₀=R (R=const)

ММ₀= =R

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²–(2)– уравнение окружности радиуса R с центром в точке М₀(х₀,у₀).

Параметрическое уравнение линии.

Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t:

(3) – параметрическое уравнение линии в ДСК

где функции j(t) и y(t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра).

Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1).

Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=j(t) и у=y(t) времени t.

Пример. Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.

Тогда x=r cos x y=r sin t. (4)

О

М

х

у

t

Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0£t£2p.

Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2).

Дата добавления: 2015-07-14