Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Прямая на плоскости.

Читайте также:
  1. Глава 24 ПРЯМАЯ КИШКА
  2. Не прямая ложь, а умолчание
  3. Не прямая ложь, а умолчание.
  4. ПРЯМАЯ КИШКА
  5. Прямая ложь
  6. Прямая ложь.

Теорема. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую 1-го порядка и любая алгебраическая кривая 1-го порядка на плоскости есть прямая.

L
n
М000)
М(х,у)
Доказательство. Рассмотрим произвольную прямую L на плоскости. Пусть точка М000) лежит на L, а ненулевой вектор n ={А;В} перпендикулярен этой прямой. Пусть точка М(х,у) – произвольная точка. Точка М(х,у) LÛкогда вектор = (х-х0) i +(y-y0) j вектору n =A i +B j

Т.е. n =0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В=0 или

Преобразуем уравнение (1): Ах+Ву-Ах0-Ву0=0

Обозначим -Ах0-Ву0=С. Получим следующее уравнение:

Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой. ( т.к. n ¹0, то либо А¹0, либо В¹0, т.е. А22≠0). Т.о. первой утверждение доказано.

Для доказательства второго утверждения, рассмотрим произвольное уравнение 1-го порядка с двумя неизвестными Ах+Ву+С=0 (А22≠0). Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если А¹0, то решением уравнения является х=- , у=0. Это означает, что существует хотя бы одна точка М000), координаты которой удовлетворяют уравнению (1), т.е. Ах0+Ву0+С=0 (2).

Вычитая из уравнения (1) равенство (2), получим А(х-х0)+В(y-y0)=0 (3).

Покажем, что уравнение (3), эквивалентное уравнению (1), определяет относительно системы Оху прямую L, проходящую через точку М000) и перпендикулярную вектору n ={А;В} (т.к. А22≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В} и ={ х-х0;y-y0} ортогональны и их скалярное произведение n =0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В=0.

Если же М(х,у) не лежит на прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В} и ={ х-х0;y-y0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В не равно нулю. Ч.т.д.

Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой

n ={А;В} – нормальный вектор прямой L.

Замечание. Если два общих уравнения Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что A1=At, B1=Bt, C1=Ct (4)

Действительно, т.к. прямые Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0 совпадают, то векторы n ={А;В} и n1 ={А11} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1 = n tÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые два равенства (4). Т.к. прямые совпадают, то они имеют общую точку М000). Т.е. Ах0+Ву0+С=0 и А1х01у01=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А10+(Bt-В10+(Ct-С1)=0Þ Ct-С1=0Þ Ct=С1.

Т.о. общее уравнение прямой, как и нормальный вектор прямой, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 84 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Параметрическое уравнение линии. | Нормированное (нормальное) уравнение прямой. | Расстояние от точки до прямой. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Пример. Уравнение сферы.| Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)