Собственный момент импульса

Собственным моментом импульса системы материальных точек называется момент импульса системы относительно точки , совпадающей с ее центром масс.

Найдем связь между моментом импульса системы относительно неподвижной точки и собственным моментом импульса. Пусть положение некоторой - ой точки системы материальных точек относительно точки задано радиус-вектором

(10)

где – положение точки относительно точки а – положение - ой точки системы относительно центра масс. Запишем уравнение (2) с учетом (10) для каждой точки системы, а затем, просуммировав эти уравнения, получим следующее выражение для момента импульса системы относительно точки

, (11)

где – масса - ой точки системы, а – ее скорость относительно неподвижной точки

Первое слагаемое в этом уравнении можно записать в виде (см. раздел “Закон сохранения импульса”)

,

где – масса всей системы материальных точек, а ­– скорость центра масс этой системы относительно неподвижной точки

Рассмотрим второе слагаемое в уравнении (11). Учитывая, что

где – скорость - ой точки системы относительно точки получим

.

Второе слагаемое в этом уравнении – это собственный момент импульса системы , а первое равно нулю. Действительно, его можно преобразовать к виду (см. раздел “Закон сохранения импульса”)

.

Откуда следует, что , т.к. радиус-вектор , определяющий положение центра масс системы относительно точки , равен нулю.

Таким образом, с учетом вышесказанного, уравнение (11) принимает вид

, (12)

где – импульс системы материальных точек относительно точки Из этого уравнения следует, что если векторы и коллинеарны, то моменты импульсов системы материальных точек относительно неподвижной точки и точки равны.

Получим уравнение моментов относительно центра масс системы. Продифференцируем уравнение (12) по времени

. (13)

Первое векторное произведение в правой части этого уравнения равно нулю, т.к. вектор коллинеарен вектору . Второе векторное произведение можно переписать в виде

,

где – ускорение центра масс относительно точки

Левую часть уравнения (13) с учетом (1) и (5) преобразуем к виду

.

Таким образом, уравнение (13) принимает вид

,

или

.

Учитывая (10), получаем

(14)

где – момент внешних сил, действующих на систему, относительно центра масс системы, т.е. уравнение моментов относительно центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижного начала.

Вообще говоря, уравнение моментов относительно движущегося начала не совпадающего с центром масс системы материальных точек, имеет вид

(15)

где и – скорости точки и точки относительно неподвижного начала отсчета (см., например, Д.В. Сивухин “Механика” том 1). Если движущееся начало совпадает с центром масс системы, то = , и уравнение (15) переходит в уравнение (5). Надо отметить, что уравнение (15) переходит в уравнение (5) и в том случае, когда векторы и коллинеарны.

Вопросы для самоконтроля

1. Куда направлен момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (см. рис. 3 – рисунок выполнен в плоскости листа):

а) на нас; б) от нас; в) лежит в плоскости рисунка 3?

2. Груз массы вращается на нити длиной в горизонтальной плоскости (см. рис. 4). Нить образует с вертикалью угол . Чему равны величины моментов силы натяжения нити и силы тяжести относительно точки :

а) б) в) г)

д) е) ж) з) ?

Укажите правильные утверждения.

3. Груз массы вращается на нити длиной в горизонтальной плоскости (см. рис. 4) со скоростью . Нить образует с вертикалью угол . Чему равны момент силы тяжести и момент импульса груза относительно оси

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

Укажите правильные утверждения.

4. Момент импульса системы материальных точек относительно точки не меняется, если:

а) точка неподвижна;

б) на систему не действуют внешние силы;

в) момент внешних сил равен нулю;

г) центр масс системы неподвижен относительно точки ;

д) система замкнута.

Укажите ошибочные утверждения.

5. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно неподвижной точки и движущейся точки имеют одинаковый вид, если:

а) скорость центра масс системы относительно точки равна нулю;

б) импульс системы относительно точки равен нулю;

в) точка совпадает с центром масс системы;

г) скорости центра масс системы и точки относительно неподвижной точки - коллинеарные векторы.

Укажите правильные утверждения.

Дата добавления: 2015-07-14