Уравнение моментов относительно неподвижной оси

Под уравнением моментов относительно неподвижной оси понимают проекцию уравнения моментов (5) относительно неподвижной точки на ось , проходящую через эту точку

, (6)

где – алгебраическая сумма проекций моментов импульса каждой материальной точки на ось – алгебраическая сумма проекций на ось моментов внешних сил, действующих на данную систему материальных точек.

Для того чтобы понять смысл величин, входящих в уравнение (6), рассмотрим сначала одну материальную точку , на которую действует сила Представим радиус-вектор определяющий положение точки относительно точки в виде суммы двух векторов (рис. 2)

(7)

где – вектор, параллельный оси , а ­– вектор, перпендикулярный оси

Силу также представим в виде суммы двух векторов

(8)

где – направлена вдоль оси а – лежит в плоскости, перпендикулярной оси Подставляя (7) и (8) в уравнение (1) и делая несложные преобразования, получим

. (9)

Первое векторное произведение равно нулю, т.к. и коллинеарные вектора. Векторы, представляющие второе и третье векторные произведения, перпендикулярны оси поэтому проекции этих векторов на эту ось равны нулю. Таким образом, составляющая вектора параллельная оси равна

.

Только эта составляющая и играет роль при нахождении момента силы на ось . Модуль этого вектора равен

где – плечо силы относительно оси (плечо силы относительно оси – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси ).

Проводя аналогичные рассуждения для момента импульса , получим

где – проекция импульса материальной точки на плоскость, перпендикулярную оси .

Распространяя этот результат на систему материальных точек, получим

Напомним, что – это момент внешних сил, действующих на систему.

Дата добавления: 2015-07-14