Относительно неподвижной точки

Закон сохранения момента импульса

Момент силы и момент импульса

относительно неподвижной точки

Важные законы механики связаны с понятиями момента силы и момента импульса. Пусть на материальную точку , положение которой относительно неподвижной точки определяется радиус-вектором (рис. 1), действует сила Моментом силы относительно точки называют вектор равный векторному произведению векторов и

. (1)

Модуль вектора равен

где – угол между векторами и – плечо силы относительно точки (плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой и линией действия силы). Отсюда непосредственно следует, что момент силы не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы, например, в точку, положение которой определяется радиус-вектором (см. рис. 1).

Аналогично определяется момент импульса относительно точки

, (2)

где – импульс материальной точки. Продифференцируем по времени последнее выражение

. (3)

Импульс материальной точки коллинеарен с ее скоростью , поэтому первое векторное произведение в уравнении (3) равно нулю. Учитывая, что , уравнение (3) принимает вид

(4)

Это уравнение называется уравнением моментов для одной материальной точки.

Рассмотрим систему материальных точек. Запишем уравнение (4) для каждой материальной точки, понимая теперь под момент как внешних, так и внутренних сил, действующих на рассматриваемую точку. Затем сложим все эти уравнения

,

где – момент всех внешних сил, действующих на систему, а – момент всех внутренних сил. Внутренние силы входят в систему попарно: сила , с которой -я точка действует на -ю, равна силе , с которой -я точка действует на -ю. Эти силы направлены в противоположные стороны и действуют вдоль одной и той же прямой. Суммарный момент таких двух сил, а значит и суммарный момент всех внутренних сил равен нулю. В результате получаем уравнение моментов для системы материальных точек

, (5)

т.е. производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же точки остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса относительно неподвижной точки.

Дата добавления: 2015-07-14