Главные оси инерции и главные моменты инерции

С изменением угла поворота осей каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:

,

или

,

откуда

. (17)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (16) нулю:

,

откуда

,

т.е. получили ту же формулу для .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через и . Тогда

,

,

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

В литературе главные оси иногда обозначаются через и .

Главные моменты инерции и могут быть также определены по формулам:

При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:

Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:

где , - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол осях по формулам:

---

Дата добавления: 2015-07-14