Символический метод расчета

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

• преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;
• преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;
• эквивалентные преобразования схемы замещения (если требуется);
• определение искомых величин в области изображений;
• преобразование искомых величин в оригиналы (если требуется).

Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.

Рассмотрим применение этого метода на примере цепи, изображенной на рис. 1 а).

Обозначим стрелками направления токов принятые за положительные. Тогда во временной области для этой цепи можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(1)

Если в выражениях (1) заменить токи и ЭДС синусоидальными функциями времени, то решить эту систему уравнений будет весьма затруднительно.

Перейдем к изображениям параметров исходной схемы комплексными числами в виде: Z ₁ = jw L ₁; Z ₂₁ = R ₁; Z ₂₂ = - j /(w C); Z ₃ = R ₂; Z ₄₁ = R ₃; Z ₄₂ = jw L ₂; Z ₁ = R ₄. Этим параметрам соответствует схема замещения рис. 1 б). Вторая и четвертая ветви этой схемы имеют по два элемента. Их можно преобразовать как последовательное соединение к виду Z ₂ = R _1- j /(w C) и Z ₄ = R ₃+ jw L ₂, но соединения R ₁- C и R ₃- L ₂ можно сразу представить одним комплексным числом, в котором вещественная часть соответствует резистивному сопротивлению, а реактивная - емкостному и индуктивному. В результате схема замещения будет такой, как показано на рис. 1 в).

Переход от оригиналов к изображениям является линейной операцией, поэтому все законы справедливые для области оригиналов будут справедливы и для изображений. Кроме того, в области изображений отсутствует параметр времени и все величины являются константами, аналогично цепям постоянного тока. Поэтому формально в расчетах по схеме замещения можно применять не только основные законы электрических цепей, такие как законы Ома и Кирхгофа, но и все производные от них методы, т.е. метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора и др.

Для символической схемы замещения можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(2)

Из этой системы уравнений можно найти, например, токи, представив ее в удобной для машинного анализа матричной форме записи

(3)

или в развернутой форме

(4)

Отсюда можно найти комплексные токи во всех ветвях, если известны параметры цепи и ЭДС источника. Пусть, например, e = 100sin(1000 t -27°) В; R ₁ = 20 Ом; R ₂ = 15 Ом; R ₃ = 30 Ом; R ₄ = 25 Ом; L ₁ = 10 мГн; L ₂ = 50 мГн; C = 50 мкФ. Тогда комплексные сопротивления и ЭДС будут Z ₁ = j 10 Ом; Z ₂ = 20- j 20 Ом; Z ₃ = 15 Ом; Z ₄ = 30+ j 50 Ом; Z ₅ = 25 Ом; E _m = 100e- ^j 27°.

После решения системы уравнений (2) получим: I _{1 m} = 5.96e- ^j 40.4° А; I _{2 m} = 3.67e- ^j 16° А; I _{3 m} = 3.03e- ^j 70.5° А; I _{4 m} = 1.02e- ^j 112.7° А; I _{5 m} = 2.38e- ^j 53.7° А. В этих выражениях определены амплитуды и начальные фазы всех токов. Делением модулей токов на можно найти их действующие значения, а если требуется, то можно представить и синусоидальными функциями времени в виде: i ₁ = 4.67sin(1000 t - 67.4°) А; i ₂ = 2.87sin(1000 t - 43°) А; i ₃ = 2.37sin(1000 t - 97°) А; i ₄ = 0.8sin(1000 t - 139°) А; i ₅ = 1.86sin(1000 t - 80°) А.

Найдем теперь падение напряжения между узлами a и c цепи рис. 1 а), пользуясь эквивалентными преобразованиями и законом Ома. Схема замещения этой цепи приведена на рис. 1 в) и 2 а). Поэтапно преобразуя цепь Z _4Ù Z _5Þ Z ₄₅= Z ₄ Z ₅/(Z ₄+ Z ₅)=18.7+ j 5.65 Ом; Z _45Ù Z _3Þ Z ₃₄₅= Z ₄₅+ Z ₃=33.7+ j 5.65 Ом; Z _345Ù Z _2Þ Z ₂₃₄₅= Z ₃₄₅ Z ₂/(Z ₃₄₅+ Z ₂)=16.3- j 6.1 Ом (рис. 2 б)-г)), перейдем к цепи, представляющей собой один контур с последовательным соединением Z ₁- Z ₂₃₄₅- E.

Ток в контуре рис. 2 г) равен I _{1 m} = E_m /(Z ₁+ Z ₂₃₄₅)=100e- ^j 27°/(16.3+ j 3.9) = 5.96e- ^j 40.4° А. Как и следовало ожидать, ток I _{1 m} получился равным току рассчитанному по законам Кирхгофа. Отсюда искомая разность потенциалов U_acm = I _{1 m} Z ₂₃₄₅=103.8e- ^j 61° или в области оригиналов u_ac = 103.8sin(1000 t - 61°) В.

Следует обратить внимание на то, что в исследуемой цепи амплитуда падения напряжения между узлами a и c превышает амплитуду источника ЭДС. Объяснение этому явлению дано в анализе внешних характеристик источников питания переменного тока.

Дата добавления: 2015-07-14