Векторные диаграммы

В цепях переменного тока все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Поэтому аналитические зависимости в виде уравнений не дают представления о реальных соотношениях величин. При переходе от оригиналов функций и параметров к их изображениям в виде комплексных чисел задача анализа несущественно упрощается, т.к., в отличие от цепей постоянного тока, где все величины однозначно характеризуются одним числом, в области изображений каждая величина определяется двумя числами, каждое из которых в общем случае недостаточно для полной оценки состояния цепи. Помочь в анализе соотношений между величинами и параметрами электрический цепи может их геометрическое представление в виде векторной диаграммы.

Из курса математики известно, что любое комплексное число может быть изображено в виде точки на плоскости с ортогональной системой координат, в которой на оси абсцисс откладывается вещественная составляющая, а на оси ординат мнимая. Такое изображение соответствует алгебраической форме записи комплексного числа. Если начало координат соединить отрезком прямой с точкой изображающей комплексное число, то длина этого отрезка и его угол с вещественной осью также могут служить изображением комплексного числа. Причем, для однозначного определения угла нужно задать положительное направление отрезка, т.е. определить его как радиус-векторили просто вектор.

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на комплексной плоскости, соответствующая комплексным величинам и/или параметрам электрической цепи и их связям.

Векторные диаграммы могут быть точными и качественными. Точные диаграммы строятся с соблюдением масштабов всех величин по результатам численного анализа. Они предназначены в основном для проверки расчетов. Качественные векторные диаграммы строятся с учетом взаимных связей между величинами и обычно предшествуют расчету или заменяют его. В качественных диаграммах масштаб изображения и конкретные значения величин несущественны, важно только, чтобы в них были правильно отражены все связи между величинами, соответствующие связям и параметрам элементов электрической цепи. Качественные диаграммы являются важнейшим инструментом анализа цепей переменного тока.

В цепях переменного тока одной из самых распространенных задач является анализ поведения цепи при изменении в широких пределах какой-либо величины или параметра.

Пусть, например, требуется исследовать изменение тока в цепи, представленной на рис. 1 а), при постоянном напряжении на входе и изменении резистивного сопротивления в пределах 0 > R > µ.

Падение напряжения на входе уравновешивается суммой падений напряжения на R и L, т.е. u = u_R + u_L = Ri + Ldi / dt или для изображений

U = U R + U L = R I + jw L I = R I + jXL I.

(1)

Из выражения (1) следует, что

• векторы U _R и U _L всегда перпендикулярны друг другу, т.к. каждый из них представляет собой вектор тока I, умноженный на соответствующую константу (R или X_L), а в падении напряжения U _L присутствует в качестве множителя оператор поворота на 90° - j;
• сумма векторов U _R и U _L постоянная и равна вектору U.

Для упрощения построений, не ограничивая в то же время общности рассуждений, совместим вектор U с вещественной осью (рис. 1 б)). Тогда в соответствии с условиями (1) при любых значениях R векторы U _R и U _L будут составлять с вектором U прямоугольные треугольники. Как известно, любой треугольник может быть вписан в окружность, причем дуги, на которые опираются углы вписанного треугольника равны двойному значению угла. Так как во всех векторных треугольниках угол между U _R и U _L равен 90°, то все они опираются на дугу в 180°, т.е. на диаметр, которым является постоянный вектор входного напряжения U. Следовательно, все треугольники векторов U _R, U _L и U вписываются в одну и ту же полуокружность, которая является геометрическим местом точек перемещения конца вектора U _R при всех изменениях значения R.

Векторная диаграмма, в которой при вариации параметров геометрическим местом точек перемещения конца какого-либо вектора является окружность или полуокружность, называется круговой диаграммой.

Так как векторы U _R и U _L связаны с вектором тока I постоянными коэффициентами, то из круговой диаграммы вектора U _R можно получить векторную диаграмму тока и она также будет круговой. Для получения вектора I, в соответствии с выражением (1), достаточно разделить все элементы треугольников U _R, U _L и U на R или jX_L. При этом мы получим подобный треугольник, одним из катетов которого будет I. Однако деление на R нецелесообразно, т.к. эта величина переменная и для сохранения масштаба треугольников следует произвести деление на jX_L. В результате диаметр полуокружности станет равным U / X_L и она вследствие деления на оператор поворота j повернется относительно начала координат на угол - 90° (рис. 1 в)). Полученная полуокружность и будет круговой диаграммой вектора входного тока I. Из нее можно заключить, что при R = 0 вектор тока отстает от напряжения на 90° и по модулю равен U / X_L. При R ® µ модуль и аргумент вектора тока стремятся к нулю.

Другой важной разновидностью векторных диаграмм являются линейные диаграммы.

Линейной диаграммой называется векторная диаграмма, в которой геометрическим местом точек конца какого-либо вектора при вариации параметра является прямая линия.

Примером такой диаграммы может служить диаграмма входного тока I пассивного двухполюсника при постоянном напряжении на входе U =const и изменении его реактивной проводимости в пределах - µ > B > +µ, если активная составляющая проводимости G остается постоянной. Примером электрической цепи с такой вариацией реактивной проводимости является параллельный резонансный контур при вариации частоты 0 < w <µ.

Действительно, активная составляющая тока любого двухполюсника равна I _а= G U, а реактивная I _р= jB U, т.е. эти составляющие всегда перпендикулярны друг другу или, иначе говоря, находятся в квадратуре, т.к. являются производными от одного и того же вектора U, но I _р содержит оператор поворота на 90° - j. Входной ток представляет собой сумму активной и реактивной составляющих I = I _а+ I_р, причем, активная составляющая отличается от вектора U постоянным вещественным множителем G, поэтому всегда совпадает с ним по фазе (рис. 2 б)) и имеет постоянный модуль. Вектор реактивной составляющей имеет переменный модуль - µ < | I _р| < + µ и I _а ^ I _р, следовательно, он будет располагаться на прямой проходящей через начало координат перпендикулярно вектору U. Поэтому суммарный вектор входного тока I при изменении реактивной проводимости будет скользить своим концом по линии перпендикулярной векторам I _а и U и проходящей через конец вектора I _а.

Для качественного анализа электромагнитных процессов в электрической цепи переменного тока можно строить векторные диаграммы, пользуясь только принципиальной схемой.

Построим качественную векторную диаграмму для цепи рис. 3.

Построение всегда можно начинать с произвольно выбранной величины, но т.к. операции суммирования векторов производятся проще, чем операции разложения на составляющие, то лучше в качестве начального вектора выбирать напряжение или ток элемента цепи, расположенного как можно дальше от входа. Тогда входные величины будут получены постепенным сложением векторов.

Пусть вектор тока I ₅ расположен так, как это показано на рис. 3. Ток I ₅ протекает в емкости C ₂, подключенной к узлам b и c цепи. Поэтому U _bc = U _C 2. Но падение напряжения на емкости отстает от тока в ней на 90°, следовательно, U _bc нужно расположить на луче перпендикулярном вектору I ₅ и смещенном в сторону отставания, т.е. по часовой стрелке.

Между узлами b и c помимо емкости C ₂ включена ветвь, содержащая резистор r и индуктивность L. Ток в активно-резистивном двухполюснике отстает от напряжения на некоторый угол j, конкретное значение которого определяется отношением индуктивного сопротивления w L к резистивному r. Поэтому конец вектора тока I ₄ в r - L ветви рис. 3 может находиться в любой точке сектора комплексной плоскости в 90°, ограниченного лучом совпадающим по направлению с U _bc и перпендикулярным ему лучом, смещенным в сторону отставания. Зададим произвольно точку конца вектора I ₄ в этом секторе. Тогда падение напряжения на резисторе r должно совпадать по направлению с I ₄, а падение напряжение на индуктивности L - опережать I ₄ на 90°, причем в сумме U _r и U _L должны быть равны U _bc. Построение векторов U _r и U _L, удовлетворяющих этим условиям, проще всего произвести проектированием конца вектора U _bc на направление вектора I ₄. Тогда вектор, совпадающий с I ₄ по направлению, будет U _r, а перпендикулярный ему - U _L.

Уравнение Кирхгофа для узла b цепи можно записать в виде I ₃ = I ₄ + I ₅, поэтому сложение векторов I ₄ и I ₅ по правилу параллелограмма даст нам вектор тока I ₃, протекающего в резисторе R рис. 3. Падение напряжения на нем U _R = U _ab, как у любого резистора, будет совпадать по фазе с током, следовательно, его можно построить на луче совпадающем по направлению с I ₃.

По второму закону Кирхгофа разность потенциалов U _ac можно представить суммой U _ac = U _ab + U _bc = U. Соответственно, вектор входного напряжения U получается сложением по правилу параллелограмма векторов U _ab и U _bc рис. 3. Но U _ac = U _С1. Следовательно, ток в емкости C ₁ должен опережать напряжение U _ac на 90°, поэтому его нужно построить на луче перпендикулярном U _ac и смещенном в сторону опережения.

Для узла a цепи справедливо I ₁ = I ₂ + I ₃. В соответствии с этим равенством входной ток I ₁ получен геометрическим суммированием векторов I ₂ и I ₃.

Дата добавления: 2015-07-14