Пассивные элементы электрической цепи

Электрические цепи переменного тока

4.1 Основные понятия. Представление синусоидальных функций векторами
4.2 Пассивные элементы электрической цепи
4.3 Сдвиг фаз между током и напряжением. Понятие двухполюсника
4.4 Векторные диаграммы
4.5 Электрические цепи однофазного переменного тока
4.6 Мощность цепи переменного тока
4.7 Преобразование энергии в электрической цепи
4.8 Источники электрической энергии. Внешняя характеристика
4.9 Треугольники напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей
4.10 Последовательное и параллельное соединения.
Эквивалентные параметры
4.11 Явление резонанса
4.12 Электрические LC-фильтры
4.13 Электрические RC-фильтры
4.14 Символический метод расчета
4.15 Трехфазные цепи переменного тока
4.16 Расчет трехфазных цепей
4.17 Несинусоидальные периодические ЭДС и токи

Основные понятия. Представление синусоидальных функций векторами

Электрические цепи, в которых действуют изменяющиеся во времени синусоидальные токи и напряжения называются цепями переменного тока.

Любая синусоидальная функция времени a (t) может быть однозначно задана тремя параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Ее значение в любой момент времени t определяется выражением вида

a (t) = a = Am sin(w t +y a), где

(1)

A _m - максимальное значение функции или ее амплитуда;

w - угловая частота или скорость изменения аргумента функции, выраженная в [радиан/с];

y _a - начальная фаза (аргумент функции в момент времени, принятый за начало отсчета, т.е. при t = 0) в [радиан].

Аргумент синусоидальной функции w t +y _a, называется фазой или фазовым углом. Он определяет значение функции a (t) в любой момент времени.

Кроме угловых величин, аргумент синусоидальных функций можно представить также через временные величины, используя связь угловой частоты с частотой f [Гц=1/с] или с периодом T =1/ f [с] в виде w =2p f =2p / T. Тогда w t +y _a = 2p(t +y _aT /2p)/ T. Этому представлению соответствуют верхние обозначения оси абсцисс на рис. 1.

В электрических цепях переменного тока синусоидальными функциями времени являются ток, падение напряжения и ЭДС

i = I_m sin(w t +y _i); u = U_m sin(w t +y _u); e = E_m sin(w t +y _e).

Для этих величин принят ряд соглашений по обозначениям, имеющим нормативную силу.

Мгновенные значения токов, напряжений и ЭДС следует обозначать строчными буквами в виде i, u и e.

Максимальное значение или амплитуда обозначается соответствующей прописной буквой с индексом m (I_m, U_m, E_m).

Помимо этих величин в цепях переменного тока широко используют т.н. действующие значения. Понятие действующего значения определяется из условия равенства теплового эффекты переменного и постоянного токов. Пусть через некоторый участок электрической цепи с сопротивлением r протекает переменный ток i. Тогда по закону Джоуля-Ленца на этом участке за время T, соответствующее периоду тока i, будет выделено количество тепла равное

.

Обозначим через I некоторый постоянный ток, при протекании которого по тому же участку цепи за время T выделится такое же количество тепла. Тогда с учетом того, что i = I_m sin(w t +y _i) получим:

,

(2)

т.е. величина постоянного тока эквивалентного переменному току по количеству выделяемого тепла называется действующим или среднеквадратичным значением переменного тока. Как следует из выражения (2), действующее и амплитудное значения синусоидального тока связаны между собой постоянным коэффициентом.

По аналогии с током действующие значения вводятся для напряжений и ЭДС

.

(3)

Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса.

Кроме действующих значений для синусоидальных величин иногда используются также средние значения. Под средним значением любой величины за интервал времени от t ₁ до t ₂ понимается

.

Но интеграл от синусоидальной функции за период равен нулю, поэтому для определения среднего значения используют интервал времени в половину периода. Тогда для тока получим:

.

(4)

Для напряжений и ЭДС средние значения определятся аналогично

.

(5)

ЗАДАЧА

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока с помощью синусоидальных функций времени возможно только для простейших случаев. Уже при смешанном соединении элементов выражения получаются настолько сложными, что решение их крайне затруднительно.

Задача существенно упрощается, если синусоидальные функции времени представить в виде векторов. Из курса математики известно, что синусоидальная функция времени a (t) = A_m sin(w t +y _a) является проекцией на ось ординат вектора длиной A_m, вращающегося с угловой частотой w. Причем, положение этого вектора в начальный момент времени t = 0 должно составлять угол y _a с осью абсцисс (рис. 2 а) и б)).

Если изобразить таким образом несколько векторов, соответствующих функциям с одинаковыми угловыми частотами, то они будут вращаться синхронно, сохраняя взаимное положение. Поэтому при исследовании соотношений синусоидальных функций можно считать векторы неподвижными и изобразить в положении, соответствующем любому произвольному моменту времени. Очевидно, что самое простое построение получится, если принять t = 0, т.е. построить векторы так, чтобы их углы с осью абсцисс соответствовали начальным фазам.

Для построения изображающих векторов можно использовать любую координатную систему на плоскости, однако наиболее удобной для проведения расчетов является комплексная плоскость (рис. 2 в)). В этом случае изображающий вектор A _m сопоставляется с комплексным числом и его можно определить четырьмя различными способами или формами записи:

1. алгебраическая форма - A _m = p + jq соответствует записи комплексного числа в виде вещественной p = Re A и мнимой q = Im A составляющих (в отличие от математики, в электротехнике буквой i обозначают ток, поэтому мнимую единицу принято записывать символом j);
2. тригонометрическая форма - A _m = A_m (cosy _a + j sin y _a) является результатом записи вещественной и мнимой составляющих через модуль A_m и аргумент комплексного числа y _a в виде p = A_m cosy _a и q = A_m siny _a;
3. показательная форма - A _m = A_m e^jy a получается применением к тригонометрической форме формулы Эйлера cosy _a + j sin y _a = e^jy a;
4. полярная форма - A _m = A_m Ð y _a является краткой записью модуля и аргумента комплексного числа и не может использоваться для математических операций с комплексными числами.

Между различными формами записи комплексных чисел или изображающих векторов существуют очевидные соотношения, которые для наглядности сведены в таблицу.

Таблица 1.

Формы записи	A m = p + jq	A m = Am (cosy a + j siny a)	A m = Am e ^jy a
A m = p + jq	-	p = Am cosy a q = Am siny a	p = Am cosy a q = Am siny a
A m = Am (cosy a + j siny a)		-	Am = Am y a = y a
A m = Am e ^jy a		Am = Am y a = y a	-

Комплексное число A _m называется комплексной амплитудой. Пользуясь тем, что амплитудные и действующие значения связаны между собой константой, можно ввести понятие комплексного действующего значения A, как вектора, модуль которого равен действующему значению соответствующей величины. Мнимая составляющая этого вектора, если его привести во вращение, не является исходной синусоидальной функцией, но для расчетов комплексные действующие значения имеют большое значение.

Замена синусоидальных функций a (t) комплексными числами и изображающими их векторами A позволяет перейти от тригонометрических функций времени к алгебраическим. При этом исходные синусоидальные функции времени можно считать оригиналами, а комплексные числа и векторы их изображениями или символами. Поэтому метод расчета электрических цепей, использующий такое представление функций называется символическим.

Любой математической операции в области оригиналов будет соответствовать некоторая операция в области изображений. Без доказательства сведем в таблицу основные математические операции над оригиналами и изображениями, представляя последние в двух формах: аналитической и графической, т.е. в виде аналитических выражений и соответствующих операций с векторами.

Таблица 2.

Оригинал	Изображение
a (t)= Am sin(w t +y a)	A = p + jq = Ae ^jya
C× a (t)= С× Amsin (w t +y a)	C× A = C (p + jq)= C× Ae ^j y a
b (t)= a 1(t)+ a 2(t)	B = A 1+ A 2= =(p 1+ p 2)+ j (q 1+ q 2)
b (t)= a 1(t)- a 2(t)	B = A 1- A 2= =(p 1- p 2)+ j (q 1- q 2)
b (t)= a 1(t)× a 2(t)
b (t)=[ a (t)] ^n	B = A ^n = A^ne ^jnya
	B = jw A = w × Ae ^j (y a +p /2)

Таким образом, умножение на константу оригинала соответствует умножению на эту константу модуля изображения, а в графической форме - изменению длины вектора.

Сложение оригиналов соответствует операции сложения комплексных чисел изображений или сложению изображающих векторов. Для операции сложения комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму. Вектора можно складывать по правилу параллелограмма или пристраивая к концу вектора одного слагаемого вектор другого.

Вычитание векторов также можно производить двумя способами. Можно сложить уменьшаемое с противоположно направленным вектором вычитаемого или построить вектор разности между концами векторов.

Операции умножения оригиналов соответствует умножение комплексных чисел изображений или построение вектора произведения, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент - сумме аргументов сомножителей. Умножение комплексных чисел нужно производить в показательной форме.

Взятию производной или интеграла от синусоидальной функции времени в области изображений соответствует умножение или деление на jw комплексного числа изображения исходной функции. На комплексной плоскости это соответствует изменению длины исходного вектора и поворот его на 90° в положительную или отрицательную сторону.

При операциях с комплексными числами и изображающими их векторами большую роль играют числа, модуль которых равен единице. Они называются операторами поворота. Как следует из таблицы 2, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. На комплексной плоскости сложению аргументов соответствует операция поворота вектора множимого на угол равный аргументу множителя. Если модуль множителя равен единице, то результирующий вектор не изменит своей длины, а просто повернется относительно исходного положения на соответствующий угол.

Наиболее распространенными операторами поворота являются числа 1, j, -1 и - j. Результаты умножения произвольного комплексного числа A на эти числа показаны в таблице 3.

E	E× A
	e^j 0	Ae ^j^y
j	e^j^p /2	Ae ^j (y +p /2)
-1	e^j^p	Ae ^j (y ± p)
- j	e- ^j^p /2	Ae ^j (y - p /2)

Для исследования взаимных отношений различных величин, векторы токов, напряжений и ЭДС строятся совместно на одной комплексной плоскости и такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.

Пассивные элементы электрической цепи

Электрическая цепь переменного тока, так же как и цепь постоянного тока, содержит проводники, по которым перемещаются электрические заряды. Количество зарядов, проходящих через сечение проводника в единицу времени называется величиной электрического тока. Она зависит от физических свойств и геометрических размеров проводника, а также от разности потенциалов. Связь между этими величинами называется законом Ома.

Закон Ома справедлив всегда, поэтому для любого проводящего участка электрической цепи в любой момент времени можно написать

u = ir = i / g или i = u / r = ug,

(1)

где u и i - падение напряжения и ток, а r = 1/ g и g = 1/ r - постоянные коэффициенты, называемые сопротивлением и проводимостью данного участка.

Величина сопротивления определяется коэффициентом, зависящим от свойств проводящей среды и называемым удельным сопротивлением r, а также длиной l и площадью поперечного сечения s участка, в виде r = r l / s. Сопротивление измеряют в омах [Ом], а обратную ему величину проводимость g в сименсах [См].

Пусть ток в цепи с сопротивлением r изменяется по закону i_r = I_m sin(w t +y _i). Тогда в соответствии с выражением (1) падение напряжения в ней будет

ur = rir = rIm sin(w t +y i) = Um sin(w t +y u).

(2)

Отсюда следует, что начальные фазы тока и напряжения на этом участке одинаковы y _i = y _u, а амплитуда напряжения равна U_m = rI_m. Временные диаграммы, соответствующие выражению (2) приведены на рис. 1 а). Там же показано изображение сопротивления на электрических схемах с условно положительными направлениями тока и напряжения.

Амплитудные и действующие значения синусоидальных величин связаны между собой постоянным коэффициентом, поэтому для действующих значений тока и напряжения на сопротивлении можно написать U = rI или I = U/r = gU.

Синусоидальные функции выражения (2) можно заменить комплексными числами

(3)

и изобразить их на векторной диаграмме рис. 1б) с соответствующим представлением на схеме.

Падение напряжения, вызванное протеканием тока, возникает на всех участках электрической цепи. Однако при расчетах его принято изображать отдельным элементом называемым сопротивлением или резистором.

ЗАДАЧА 1

В электрических цепях с синусоидальными переменными токами и напряжениями помимо статических явлений, свойственных цепям постоянного тока, появляются динамические эффекты, т.е. эффекты связанные с изменением этих величин во времени.

Так на любом участке электрической цепи, по которому протекает переменный ток будет действовать ЭДС самоиндукции e_L, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком и равная

.

(4)

Магнитный поток обязательно охватывает все участки электрической цепи, следовательно, при переменном токе на всех участках будет возникать дополнительное падение напряжения

,

(5)

где величина x_L =w L, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением. Амплитуда напряжения, возникающего за счет ЭДС самоиндукции, равна U_m=x_LI_m, а его начальная фаза y _u = y _i +p /2 больше начальной фазы протекающего тока на p /2, т.е. напряжение опережает по фазе ток на 90°. Временные диаграммы, соответствующие выражению (5), приведены на рис. 2 а).

Из выражения для амплитуды падения напряжения на индуктивности можно определить его действующее значение U_L = x_LI_L или действующее значение тока I_L = U_L / x_L = b_LI_L, где b_L =1/ x_L называется индуктивной проводимостью.

Индуктивное сопротивление по сути своей является распределенным параметром, т.к. магнитный поток существует везде, где протекает электрический ток, и на всех участках электрической цепи будет наводиться ЭДС самоиндукции, пропорциональная соответствующему индуктивному сопротивлению. Однако на практике индуктивность всей цепи или отдельного участка считают сосредоточенной в отдельном элементе, изображаемом на схемах в виде рис. 2 а).

Выражение (5) можно представить через символические комплексные числа в виде:

,

(6)

где Z _L = jx_L = x_Le ^jp /2 - комплексное индуктивное сопротивление.

Векторная диаграмма и схема замещения для выражения (6) приведены на рис. 2 б).

Из выражения (6) можно определить комплексное значение тока через падение напряжения

,

(7)

где Y _L =1/ Z _L =1/ jx_L = - jb_L = b_Le - ^jp /2 - комплексная индуктивная проводимость.

ЗАДАЧА 2

Из курса физики известно, что заряд уединенного проводящего тела q пропорционален его потенциалу u, т.е. q = Cu. Коэффициент пропорциональности C между зарядом и потенциалом называется емкостью и при неизменных геометрических размерах и свойствах среды является константой. Емкость измеряется в фарадах [Ф]. Фарада является слишком крупной величиной, поэтому для практических целей пользуются ее десятичными долями: микро-, нано- и пикофарадами (10 ^-6, 10 ^-9 и 10 ^-12 Ф).

Если за бесконечно малый промежуток времени dt заряд тела изменился на величину dq, то изменение потенциала за этот же интервал времени составит du = dq / C или dq = Cdu. Отнесем изменение заряда к промежутку времени, за который оно произошло. Тогда с учетом того, что электрический ток есть скорость изменения заряда, т.е. i = dq / dt, получим

.

(8)

Пусть напряжение на емкости изменяется во времени по синусоидальному закону u_С = U_m sin(w t +y _u). Тогда из выражения (8) ток в емкости определится в виде

.

(9)

Произведение b_C = w C имеет размерность проводимости [1/Ом=См] и называется емкостной проводимостью. Отсюда амплитуда тока I_m = b_CU_m, а его начальная фаза y _i = y _u + p /2. Таким образом, ток в емкости опережает падение напряжения на ней на 90°. Временные диаграммы, соответствующие этим соотношениям тока и напряжения на емкости приведены на рис. 3 а).

Пользуясь связью между амплитудными и действующими значениями, для действующих значений тока и падения напряжения на емкости можно записать I_С = b_CU_С или U_C = I_C / b_C = x_CI_C, где величина x_C =1/ b_C называется емкостным сопротивлением.

При описании электромагнитных процессов в электрических цепях часто требуется выражение для мгновенного значения напряжения на емкости. Его можно получить из выражения (8) в виде

.

(10)

Из выражения (8) следует, что всякое изменение потенциалов в электрической цепи будет вызывать появление токов, приводящих к перераспределению зарядов. Причем, под токами в этом процессе следует понимать как токи проводимости, так и токи смещения, возникающие между всеми участках цепи. Поэтому емкостная проводимость, как и емкость, является распределенным параметром, но для расчетов ее, аналогично индуктивности, представляют сосредоточенной в отдельном элементе, который изображается на схеме в виде рис. 3 а).

Связь между напряжением и током в емкости можно представить также комплексными числами и соответствующими векторами (рис. 3 б)) в виде

,

(11)

где Y _C = jb_C = b_Ce ^jp /2 - комплексная емкостная проводимость.

Отсюда можно также определить комплексное падение напряжения на емкости

,

(12)

где Z _C =1/ Y _C =1/ jb_C = - jx_C = x_Ce - ^jp /2 - комплексное емкостное сопротивление.

---

Дата добавления: 2015-07-14