Правило решения дифференциальных уравнений высшего порядка, допускающих понижение порядка.

Имеем уравнение вида y^'' = ƒ(x), тогда решением является последовательное интегрирование , .

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Общее решение y₀₀ линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид y₀₀ = C₁y₁(x)+C₂y₂(x), где y₁(x) и y₂(x) - линейно независимые решения этого уравнения.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения: y = y₀₀ + ӯ, где ӯ - частное решение дифференциального уравнения, а y₀₀ - общее решение дифференциального уравнения.

Доказательство теоремы для уравнения второго порядка y^''+p*y^'+q*y = ƒ(x), где p, q - константы.

y₀₀ = c_1*y₁ + c₂*y₂ - общее решение для y^''+p*y^'+q*y = 0

(y₀₀''+p*y₀₀^'+q*y0₀)+(ӯ''+p*ӯ^'+q*ӯ) = ƒ(x)

Первая скобка - общее решения для y^''+p*y^'+q*y = 0, вторая скобка - частное решение для y^''+p*y^'+q*y = ƒ(x).

Частное решение находится двумя способами: методом неопределенных коэффициентов и методом вариаций.

---

Дата добавления: 2015-07-12