Регрессионный анализ

Регрессионный анализ часто используют в промышленности для описания результатов пассивного или активного промышленного эксперимента в виде линейных (1) или нелинейных (2) уравнений регрессии:

У_i = a₀ + a₁x₁ + а₂x₂ + а₃x₃ +... + а_ix_i = (1)

У_i = а₀ +а₁x₁ +а₂x₂ +а₁₂x₁x₂ +а₁₁x₁² +а₂₂x₂² +...= а₀ + S а_ix_i + S а_ijx_ix_j + S а_iix_i² + S а_jjx_j² (2)

где У_i - выходной параметр (степень превращения, степень извлечения, содержание основного вещества, длительность процесса и т.п.);

x_i - входные параметры, влияющие на выходной параметр (температура, концентрация, давление и т.п.);

а₀, а_i - коэффициенты регрессии;

m - количество входных параметров.

При проведении пассивного эксперимента процесс проводится в рамках установленных технических норм, входные и выходной параметры регистрируются на компьютере или в технологическом журнале. Как правило, изменение указанных параметров от регламентных составляет небольшие величины, поэтому результаты промышленного пассивного эксперимента представляются линейными уравнениями регрессии.

При проведении активного эксперимента (исходя из задач эксперимента) диапазон изменения входных и выходных величин существенно расширяется. В этом случае результаты активного эксперимента представляются нелинейными уравнениями регрессии, более точно описывающими многомерные функции выходного параметра У_i.

Уравнения регрессии (1 и 2) представляют математическую модель изучаемого объекта только для того диапазона, в котором проводилось исследование объекта. При расширении диапазона изменения входных переменных найденные уравнения регрессии (коэффициенты регрессии) становятся некорректными и должны быть пересчитаны. Вычисляемые коэффициенты и уравнения регрессии не имеют физического смысла и для одного и того же объекта (процесса) может быть найдено несколько уравнений регрессии, отличающихся точностью описания изучаемого объекта. Уравнения регрессии могут использоваться для оптимизации изучаемых процессов.

Выбор того или иного уравнения регрессии зависит от исследователя и определяет точность (адекватность) с которой уравнение описывает в требуемых пределах исследуемый (наблюдаемый) объект. Такой выбор уравнения определяется исследователем на основании априорных сведений об объекте, влияющих факторов и удобства использования математической модели конкретного вида. Методы регрессионного анализа позволяют из нескольких различных по виду моделей выбрать наиболее адекватную.

Регрессионный анализ сводится к определению коэффициентов уравнения регрессии (на основании экспериментальных данных), оценки значимости этих коэффициентов и степени адекватности математической модели. Для проведения регрессионного анализа полученные массивы данных пассивного или активного эксперимента обрабатываются, производится отсев неверных значений, далее очищенные от ошибок данные подвергаются математической обработке и представляются в виде функции регрессии одной или более переменных.

Вычисление коэффициентов регрессии проводится по методу наименьших квадратов. Суть метода заключается в следующем. Пусть входные и выходной параметры имеет линейную корреляционную связь, тогда при оценке выходного параметра используется линейное регрессионное уравнение вида (1). Необходимо найти коэффициенты регрессии а₀, а_i (i=1...m, m-число коэффициентов уравнения регрессии) такие, чтобы экспериментальные точки (y_j), (j=1..n, n-число экспериментальных наблюдаемых точек) построенные по данным наблюдений, лежали как можно ближе к расчетной прямой У=f(x), вычисляемой по уравнению регрессии (см. рис.1).

Рис.1

Для нахождения коэффициентов регрессии составляют функцию квадратов отклонений расчетных и экспериментальных (наблюдаемых) значений:

(3)

где Y_j - вычисленное по уравнению (1) значение, соответствующее наблюдаемым значениям x_ij, y_j - наблюдаемое значение выходного параметра, соответствующее x_ij.

Подбирают коэффициенты регрессии так, чтобы сумма квадратов отклонений (3) была минимальной. Подставляя в уравнение (3) уравнение (1) получают:

(4)

Поскольку условием существования экстремума функции (4) является равенство частных производных по каждой переменной (искомым коэффициентам) нулю, то для отыскания минимума функции F приравнивают нулю соответствующие частные производные:

В итоге получают систему из m+1 линейных уравнений, решив которую находят коэффициенты регрессии а₀, а_i (i=1...m). Для решения системы линейных уравнений обычно используют компьютеры и программное обеспечение.

При необходимости получения нелинейных уравнений регрессии, например в виде уравнения (2), расчет коэффициентов регрессии проводят аналогично.

Если анализируемая функция зависит от одного параметра, то уравнение линейной регрессии представляется в простом виде:

(5)

где – – свободный коэффициент (пересечение с осью у при х=0);

b – коэффициент - тангенс угла наклона прямой к оси х.

Коэффициенты регрессии для уравнения (5) можно непосредственно вычислить по формулам:

b= (6)

= (7)

где –n- число экспериментальных точек.

Статистический анализ уравнений регрессии

Статистический анализ уравнений регрессии заключается в проверке адекватности полученного уравнения и значимости коэффициентов регрессии. Он дает возможность найти пределы измерения углового коэффициента и отрезка на оси ординат для линии регрессии, а исследование адекватности позволяет оценить степень отклонения экспериментальных точек от расчетной линии.

Дисперсия адекватности уравнения регрессии S²_ад характеризует меру отклонения расчетных данных У_р, полученных по уравнению, от реальных экспериментальных результатов у_i для i-й точки, в которой произведено измерение. Значение S²_ад находят по формуле:

S²_ад = (6)

где (n-2)=f – число степеней свободы.

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии (5) находят из выражений:

(7)

(8)

при числе степеней свободы f=n-2.

После вычисления дисперсий вычисляют статистическую значимость коэффициентов регрессии. Эта проверка дает ответ на вопросы о том, проходит ли прямая, выраженная уравнением (5) через начало координат и отличается ли угол её наклона от 45⁰. Критерием значимости для такой проверки является критерий Стьюдента.

Доверительные интервалы (границы) Dа и Dв для коэффициентов регрессии вычисляют по формулам:

Dа=±tS_a (9)

Dв=±tS_b (10)

Некоторые из найденных коэффициентов могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми, которые могут быть отброшены. Факторы, перед которыми стоят незначимые коэффициенты, оказывают незначимое влияние на анализируемую функцию. Коэффициенты регрессии a_i значимы, если абсолютная величина коэффициента больше половинного значения Dа/2 или Dв/2, т.е. если выполняется условие:

(11)

где s_i - оценка дисперсии каждого из коэффициентов регрессии;

t - значение критерия Стьюдента, определяемое по статистической таблице или вычисляемое на компьютере по уровню значимости a=1-Р и числу степеней свободы f, (см. приложение ниже).

Проверку адекватности уравнения регрессии проводят по F-критерию Фишера:

F_р= S²_ад/S²_y (12)

при числе степеней свободы числителя (n-2), а знаменателя n(m-1). Выборочная дисперсия S²_y определяется по формуле:

S²_y= (13)

где n - число серий измерений, i=1,2,..n;

m - число параллельных измерений в каждой серии, j=1,2,..m.

Если в каждой из серий число измерений m_i разное, то для расчета S²_y используют выражение:

S²_y= (14)

Для вычисления по этой формуле предварительно находят значения дисперсий S²_i в каждой из i-серий.

Если значение F_р, определяемое по формуле (12) меньше табличного значения F_т, при избранном уровне значимости a=1-Р, то уравнение регрессии (5) адекватно описывает экспериментальные данные. Если значение F_р> F_т, то уравнение регрессии (5) неадекватно, следует предложить другой вид уравнения и исследовать новое уравнение.

Дата добавления: 2015-07-11