Решение.

I ₁ + I ₂.

I ₁ = = 5∙ = [так как ] =

= 5∙ ∙tg2 x + C;

I ₂ = = =

= = ∙ = t ² + C =

Таким образом,

=

в) .

Решение. Найдём данный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

.

Тогда

=

=

= = =

= = – π.

Пример 7. Найти: а) частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию у (1) = 1;

б) общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, определить и записать структуру частного решения у_чн линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части.

а) .

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции . Решим это уравнение с помощью подстановки Бернулли , где U = и V = – новые неизвестные функции. Тогда .

Подставим выражения для у и у ′ в уравнение и получим:

.

Сгруппируем члены последнего уравнения и приведем его к виду:

. (2)

Так как произведение UV должно удовлетворять исходному уравнению, и одну из неизвестных функций, например V, можно выбрать произвольно, то выберем в качестве любое частное решение V = V (х) уравнения:

V ′ + V = 0.

Тогда

или

. (3)

Дифференциальное уравнение (3) – дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем его:

, + ln C.

Полагая С = 1, получим частное решение в виде

.

Подставим в уравнение (2). Получим:

или ,

, .

Тогда

. (4)

Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию у (1) = 1. Для этого подставим начальное условие в (3)

1 = , С = .

Тогда искомым частным решением является функция

.

б) .

Решение. Согласно структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения оно имеет вид

,

где – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, а – некоторое частное решение исходного линейного неоднородного уравнения.

Найдем общее решение однородного уравнения методом Эйлера. В уравнении заменим . Тогда его характеристическое уравнение

имеет два различных вещественных корня:

.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Определим вид частного решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью методом неопределенных коэффициентов по виду специальной правой части.

Правая часть уравнения – функция – имеет специальный вид, что позволяет установить вид частного решения. Частное решение для такой правой части найдем в виде , где по условию ; – число корней характеристического уравнения, совпадающих с числом . Так как один из корней характеристического уравнения совпадает с числом , то и частное решение найдем в виде

.

Пример 8. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение. Для определения радиуса сходимости данного степенного ряда воспользуемся формулой .

Так как для данного ряда и , то

Итак, радиус сходимости ряда .

---

Дата добавления: 2015-07-11