Основные свойства правильной пирамиды

I. Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.

II. Двугранные углы при основании равны.

III. Двугранные углы при боковых ребрах равны.

IV. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

V. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

2. Параллельные сечения. Опишем свойства сечений пирамиды, параллельных плоскости основания.

• ТЕОРЕМА

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то

1) боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания от-

носятся друг к другу как квадраты их

расстояний от вершины.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в пирамиде Р высота OS делится сечением A1B1C1 параллельным основанию АВС, на отрезки

ОО1 и O1S (рис. 190).

1)Так как А1B1 || АВ, В1С1 || ВС,...,А1O1 || АО, то

= , = ,…, =

Рис. 190

В каждой из этих пропорций содержатся попарно равные отношения, поэтому

= = … =

2) Треугольники ∆ ~ ∆ASB, ∆ ~ ∆BSC, тогда

= , =

из чего следует

= , ,…,

т. е. стороны сечения пропорциональны сторонам основания

= =

Стороны одноименных углов в основании и сечении взаимно параллельны, поэтому соответственные углы равны и по определению подобных треугольников

∆ ~ ∆ABC. (*)

3) Из (*) следует, что площадь сечения Sсеч и площадь основания Sосн подчиняются соотношению

= (**)

Треугольники А1SO и АSO подобны, ∆A1SB1 ~ ∆ASB, поэтому

=

следовательно,

(***)

Из (**) и (***) следует, что

=

Доказательство легко распространяется на случай пирамиды с любым числом граней.

3. Усеченная пирамида. Часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой (рис. 191).

Основание и соответствующее сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды (h на рисунке 191).

Сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два |боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональным сечением (затемнено на рисунке 191). I

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Высота боковой грани правильной

усеченной пирамиды называется ее апофемой (а на рисунке 191).

Рис.191

---

Дата добавления: 2015-07-11