Параллелепипед

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

+

•ТЕОРЕМА

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Доказательства теоремы приводить не будем. Из теоремы следует, что любая грань параллелепипеда может быть принята за его основание.

•ТЕОРЕМА

В параллелепипеде диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АС1, ВD1, СА1, DВ1 — диагонали параллелограмма Р (рис. 186). Через параллельные ребра А1В1 и DС проведем сечение А1В1СD в котором стороны А1В1= DС, А1В1||DС, так как А1В1=АВ и DС=АВ. Следовательно, сечение А1В1СD является параллелограммом.

Диагонали параллелепипеда А1С и В1D являются диагоналями параллелограмма, поэтому эти диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Диагональ А1С

пересекает диагональ АС1 в точке О и делится ней пополам.

Следовательно, все четыре диагонали проходят через одну точку и делятся в ней пополам, что и требовалось доказать.

Рис.186

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны его основанию, называется прямым. Непрямой параллелепипед называется наклонным, все его грани являются параллелограммами.

Прямой параллелепипед, основанием

которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются

прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед, все

ребра которого равны, называется кубом.

Все грани куба являются квадратами.

• ТЕОРЕМА Рис.187

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен

сумме квадратов трех его измерений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в прямоугольном параллелепипеде Р имеем а, Ь, с — непараллельные ребра, d — диагональ (рис. 187).

Сторона с перпендикулярна основанию АВСD, следовательно, она перпендикулярна диагонали основания АС. Из треугольника ∆ АА С следует, что d = + . Из треугольника ∆АВС следует, что = + , но = , поэтому

= + +

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какая фигура называется параллелепипедом?

2. Какая фигура называется кубом?

3. Какие свойства параллелепипеда следуют из того? что эта фигура является частным случаем призмы?

4. Сформулируйте свойства противолежащих граней параллелепипеда.

5. Сформулируйте свойства диагонали параллелепипеда.

Дата добавления: 2015-07-11