Площади поверхностей многогранников

1. Площади боковой и полной поверхностей призмы. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней; площадью полной поверхности — сумма площадей всех ее граней.

• ТЕОРЕМА

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра сечения, перпендикулярного боковым ребрам призмы, на длину бокового ребра.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем доказательство на примере треугольной призмы, которое легко распространить на случай призмы с любым числом граней. Пусть в призме П плоскость α перпендикулярна ребрам, АА1 = ВВ1 = СС1 = l, Р — периметр сечения А2В2С2 (рис. 192).

Боковая площадь = + +

По построению А2В2 является

высотой параллелограмма АА1ВВ1

площадь которого, таким образом, рав-

на = l ∙ A2B2. По аналогии

площади других граней равны соответственно

l • В2С2 и l • С2А2. Таким образом,

Sбок = l (А2B2 + B2C2 + C2A2) = lP,

что и требовалось доказать.

Рис. 192

В прямой призме периметр перпендикулярного сечения равен периметру основания, поэтому = lPосн.

2. Площадь боковой поверхности параллелепипеда. Прямой параллелепипед является частным случаем прямой призмы, поэтому площадь его боковой поверхности равна = lPосн.

3. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды. Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усеченной) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности — сумма площадей всех ее граней.

• ТЕОРЕМА

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в n-угольной пирамиде Р — периметр основания, а — апофема. В правильной пирамиде все n боковых граней являются равными между собой треугольниками. Пусть основание любого из этих треугольников равно b, тогда , следовательно, площадь боковой поверхности равна

Sбок = n = nba = Pa.

Очевидно,

Sполн = Sбок + Sосн.

4. Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды. В правильной n-угольной усеченной пирамиде все боковые грани являются равными между собой трапециями. Обозначим длины их оснований через b и b1, высотой в них служит апофема а. Тогда площадь трапеции Sтрап= (b+b1)a/2

тогда

Sбок = nSтрап = n (b+ )a = (P+P1)a,

где Р и Р1 — периметры оснований усеченной пирамиды. Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему.

Дата добавления: 2015-07-11