Вычисление площади поверхности фигуры вращения с помощью определенного интеграла

При вращении дуги АВ плоской кривой y=f(x) вокруг оси Ох образуется поверхность вращения, площадь которой вычисляется по формуле:

(6)

где а и b —значения независимой переменной х в точках А и В.

Аналогичным образом, при вращении дуги АВ вокруг оси Оу имеем , откуда

(7)

где с и d —значения независимой переменной у в точках А и В.

Пример. Найти площадь поверхности шара, образованного враще­нием окружности вокруг оси Ох.

Решение: дифференцируя уравнение окружности , получим

, . Найдем дифференциал дуги:

Подставив значение дифференциала dl в формулу (1) и взяв пределы интегрирования от –r до r,

получим

.

Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги окружности ,заключенной между точками

Решение: дифференцируя уравнение окружности по х, получим

.

Тогда

Дата добавления: 2015-07-11