Класична електронна теорія металів

В основі електронної теорії металів лежить уявлення про електронний газ, що складається з вільних електронів. Електронному газу приписуються властивості ідеального одноатомного газу.

Виходячи з уявлень про електронний газ, Друде (1900г) створив класичну теорію металів, яка була вдосконалена Лоренцом. Основні положення теорії Друде:

1). Вільні електрони безперервно хаотично рухаються, причому середня кінетична енергія їх руху дорівнює . Застосовуючи висновки молекулярно-кінетичної теорії, можна знайти середню швидкість теплового руху електронів:

. (6.1)

2). Під дією зовнішнього електричного поля, крім теплового руху електронів, виникає дрейф електронів. В інтервалі між зіткненнями з вузлами кристалічної решітки електрони прискорюються під дією електричного поля і при зіткненнях передають отриману в електричному полі енергію кристалічній решітці. У моделі Друде, як і в кінетичній теорії, зіткнення – це миттєві події, що раптово змінюють швидкість електрона.

На основі цих уявлень можна пояснити ряд властивостей металів.

6.1.1 Закон Ома в диференційній формі

1. У проміжку між двома наступними зіткненнями електрони під дією електричного поля рухаються з прискоренням:

. (6.2)

Максимальна швидкість, якої набуває електрон перед зіткненням (наприкінці вільного пробігу), дорівнює

, (6.3)

де – середній час вільного пробігу електронів.

Густину струму можна визначити наступним чином:

, (6.4)

де - середня швидкість дрейфу електронів,

тоді

, (6.5)

тобто густина струму пропорційна напруженості електричного поля (виконується закон Ома). Множник

(6.6)

являє собою питому електропровідність металу.

Якщо врахувати, що дрейфова швидкість електронів значно менше, ніж швидкість їх теплового руху, то час вільного пробігу електрона

, (6.7)

де - середня довжина вільного пробігу електрона.

У класичній теорії приймається, що дорівнює міжатомній відстані в кристалі. Отже, можна записати:

. (6.8)

З формули (6.8) питомої провідності випливає, що величина повинна зростати пропорційно (так як ). Цей висновок електронної теорії суперечить дослідним даним, згідно з якими питомий опір r ~ T, тобто .

6.1.2 Закон Джоуля-Ленца.

До кінця вільного пробігу електрон під дією поля набуває кінетичну енергію

. (6.9)

При зіткненні електрона з атомом ця енергія повністю передається решітці і йде на збільшення внутрішньої енергії металу, тобто на його нагрівання.

За одиницю часу електрон відчуває в середньому зіткнень:

. (6.10)

Якщо n – концентрація електронів, то за одиницю часу відбувається зіткнень і решітці передається енергія , яка йде на нагрівання провідника:

, (6.11)

тобто питома теплова потужність w ~ Е². Отримано закон Джоуля - Ленца.

6.1.3 Закон Відемана-Франца

Відкритий експериментально, цей закон говорить: відношення коефіцієнта теплопровідності металу до його питомої провідності для всіх металів однаково при однаковій температурі:

, (6.12)

де - визначаємий експериментально коефіцієнт, що не залежить від роду металу.

Якщо припустити, що теплопровідність металу здійснюється вільними електронами, то коефіцієнт теплопровідності електронного газу представимо у вигляді:

, (6.13)

де – теплоємність одиниці об'єму газу.

Тоді

. (6.14)

Отримане в класичній електронній теорії значення непогано узгоджується з дослідними даними. Однак, як виявилося згодом, ця згода випадкова. Лоренц, застосувавши до електронного газу статистику Максвелла-Больцмана, врахувавши тим самим розподіл електронів за швидкостями, отримав що призвело до розбіжності теорії з досвідом.

6.1.4 Оцінка середньої довжини вільного пробігу електронів в металах Щоб отримати s, що збігається з дослідними даними, необхідно приймати значно більше істинних, тобто необхідно припускати, що електрон проходить без зіткнень з атомами решітки сотні міжвузельних відстаней, що не узгоджується з теорією Друде.

6.1.5 Теплоємність металів

Згідно з уявленнями електронної теорії вільні електрони обмінюються енергією при зіткненні з кристалічною решіткою, і тому атомна теплоємність металу повинна складатися з теплоємності кристалічної решітки і теплоємності електронного газу :

. (6.15)

При високих температурах теплоємність кристалічної решітки за законом Дюлонга і Пті дорівнює (для 1 моля):

. (6.16)

Приймаючи, що число вільних електронів у металі дорівнює кількості атомів і що електрони володіють трьома ступенями свободи, знаходимо

, (6.17)

Отже

. (6.18)

Однак, дослід показує, що теплоємність (6.18) близька до , тобто істотно не відрізняється від теплоємності діелектриків. Електронна теорія металів ніяк не пояснює і залежність теплоємності металів від температури.

Обмеженість класичної електронної теорії металів є наслідком того, що вона розглядає вільні електрони як класичні частинки, а сукупність їх, електронний газ – як класичний ідеальний газ.

Дата добавления: 2015-07-14