Вектор оберненої решітки

У ряді випадків буває зручно, поряд з просторовою решіткою, вводити допоміжну систему точок, що називається зворотною решіткою. Вектор оберненої решітки визначаємо як:

, (2.6)

де m₁, m₂, m₃ — цілі числа,

, , .

Визначимо скалярний добуток . Для цього скористуємося властивістю дистрибутивності скалярного добутку. Тоді

, (2.7)

аналогічно,

, (2.8)

(2.9)

Отже, маємо

(2.10)

де N — ціле число.

Якщо існує деяка функція , що володіє періодичністю кристалічної решітки, тобто

, (2.11)

то вона може бути розкладена в узагальнений ряд Фурье:

. (2.12)

Очевидно, що

, (2.13)

звідки випливає, що

, (2.14)

, (2.15)

де N — ціле число.

Можна зробити висновок, що .

Функція, що володіє періодичністю кристалічної решітки, може бути розкладена в ряд по плоских хвилях з хвильовими векторами, які є векторами оберненої решітки.

Простір векторів зворотних решіток - простір хвильових векторів, можливих у даній решітці. Простір оберненої решітки є окремим випадком фазового простору (так як ).

Одне з можливих застосувань оберненої решітки - опис розподілу дифракційних максимумів, які утворюються при розсіюванні рентгенівських променів, електронів або нейтронів на кристалі.

У випадку одномірного ланцюжка атомів з періодом а (див. рисунок 2.27), вектор оберненої решітки .

Рисунок 2.27 – Одномірний ланцюжок атомів з періодом а

Тоді комірка Вігнера-Зейтца для таких решіток має межі ; .

Комірка Вігнера-Зейтца для оберненої решітки носить назву першої зони Брілюена. Таким чином, першій зоні Брілюена відповідають . При даному значенні N рівняння (2.10) визначає кристалічну площину, перпендикулярну вектору оберненої решітки і що знаходиться на відстані від початку координат. Дійсно,

, (2.16)

де - кут між векторами ;

- проекція вектора на вектор .

Тоді

(2.17)

При даних значеннях N и G права частина (2.17) постійна, тому умова (2.17) визначає площину, перпендикулярну до і віддалену на відстань 2pN/G від початку координат. Якщо на цій площині лежить один вузол прямої решітки, що визначається вектором , то на цій же площині лежить нескінченне число інших вузлів прямої решітки, що представлене на малюнку 2.28

Рисунок 2.28 – Приклад побудови вектора по заданому вектору

Так як N — будь-яке ціле число, то вектор визначає сімейство паралельних площин прямої решітки, перпендикулярних до . Збільшення N на 1 приводить до збільшення на . Тому відстань між сусідніми кристалічними площинами, перпендикулярними до , дорівнює .

Дата добавления: 2015-07-14