Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретичні відомості. Чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Читайте также:
  1. III. Основні відомості про емітента
  2. N21 Психологічна структура самосвідомості.
  3. N23 Проблема самосвідомості в вітчизняній психологі§.
  4. N25 Прояви самосвідомості в перцептивних та рухових процесах.
  5. N28 Психологічні механізми саморегуляці§ як феномену самосвідомості.
  6. Вивчення загально§ структури свідомості
  7. ВИНИКНЕННЯ І РОЗВИТОК СВІДОМОСТІ

Чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідної однокроковими методами

Мета роботи: навчитися чисельно інтегрувати звичайні диференціальні рівняння першого порядку, які розв’язані відносно похідної однокроковим методом

Теоретичні відомості

Часто інженерні задачі зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє деякі початкові умови (задача Коші). Проінтегрувати таке рівняння аналітичними методами вдається не завжди. При цьому дістають здебільшого такий вираз, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватися ним незручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

ЗАДАЧА КОШІ. Нехай задано диференціальне рівняння першого порядку з відокремленою похідною

(1)

Необхідно знайти наближений розв’язок даного диференціального рівняння, який задовольняє початковим умовам, тобто при значення наближеного розв’язку , де та задані числа.

Геометрично це означає, що треба знайти таку інтегральну криву рівняння (1), яка проходить через точки .

 

Метод Ейлера

Найпростішим чисельним методом розв'язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння є метод Ейлера. Суть методу в тому, що на малому проміжку зміни аргументу

інтегральна крива диференціального рівняння

заміняється відрізком прямої (дотичної)

Звідси і такий процес можна повторювати так далі, тобто

(2)

де , а - крок дискретизації аргументу .

Блок-схема алгоритму розв'язання задачі Коші методом Ейлера зображена на рис.1. Задаються початкові значення , , а також величина кроку та кількість розрахункових точок k. Розв'язок отримується у вузлах , ,..., . Вивід результатів передбачено на кожному кроці. Якщо знайдені значення необхідно зберігати в пам'яті машини, то необхідно ввести масив значень , ,..., .

Рис.1. Блок-схема алгоритму розв'язання задачі Коші методом Ейлера

 

Удосконалений метод Ейлера

В удосконаленому методі Ейлера спочатку за методом Ейлера обчислюють наближений розв’язок задачі (1) в точці :

, (3)

а потім за формулою

(4)

наближений розв’язок у точці ; на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1) обчислюють двічі (у точках () і (, )).


Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 45 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)