Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Магнітне утримання плазми

Читайте также:
  1. Відбиття електромагнітних хвиль від неоднорідної плазми
  2. Вплив скінченої провідності плазми на її утримання магнітним полем
  3. Гамма-випромінювання — це електромагнітне (фотонне) випромінювання з великою проникною і малою іонізуючою здатністю з енергією 0,001-3МеВ.
  4. Гідродинамічний опис плазми
  5. Годівля і утримання худоби
  6. Дифузія плазми
  7. Кінетичний опис плазми

 

У цьому підрозділі розглядаються загальні принципи утримання плазми за допомогою магнітного поля на основі використання найпростіших уявлень ідеальної магнітної гідродинаміки. Аналізуються конфігурації магнітного поля, де в принципі можлива рівновага з плазмою, утримуваною цим полем.

В наступних підрозділах картина буде уточнюватись: ми розглянемо стійкість таких рівноважних конфігурацій, у тому числі на основі використання більш складних моделей.

 

4.2.1. Рівновага плазми в магнітному полі

Реальна плазма практично завжди є неоднорідною. Для підтримання стаціонарного просторового розподілу плазми на неї повинні діяти якісь сили, що перешкоджають її розтіканню. Такі сили можуть бути обумовлені магнітним полем.

Для того, щоб зрозуміти механізм утримання плазми в магнітному полі, оберемо спочатку найпростішу модель. Розглянемо повністю іонізовану плазму, яка являє собою ідеальний газ із тиском p=2nkBT. Провідність вважатимемо нескінченною, в’язкість – нульовою (модель ідеальної плазми; нагадаємо, що вона реалізується за відсутності зіткнень – див. п.п.3.2.3-3.2.3). Рівновага такої плазми в магнітному полі можлива, коли градієнт тиску компенсується силою Ампера:

(4.11)

(пор. з рівнянням (2.83)).

У такій моделі густина струму j має задовольняти умову неперервності:

. (4.12)

Відповідно до рівнянь Максвелла (2.87) для стаціонарного стану рівноваги

, . (4.13)

Відзначимо, що система рівнянь (4.11)-(4.13) являє собою не що інше як систему рівнянь магнітної гідродинаміки (2.83)-(2.87) для стаціонарного випадку, коли всі похідні за часом перетворюються в нуль. Таким чином, у використаній моделі враховується тільки зміна магнітного поля, пов’язана з рухом частинок плазми (поле, вморожене в плазму), але не враховуються ефекти, обумовлені зіткненнями частинок – наприклад, взаємна дифузія магнітного поля та плазми (див. вище пп. 2.4.4, 3.4.4-3.4.9).

Зі співвідношення (4.11) випливає, що (B ×grad p)=0 та (j ×grad p)=0, тобто тиск уздовж силових ліній магнітного поля та ліній струму є сталим. Іншими словами, як лінії поля, так і лінії струму мають лежати на поверхнях p=const. З іншого боку, оскільки вектор grad p перпендикулярний до поверхні p=const, це означає, що поверхні сталого тиску, на яких лежать магнітні силові лінії, мають бути замкненими і вкладеними одна в одну так, щоб на межі плазми її тиск обертався в нуль, а всередині був максимальним. Для області скінчених розмірів така система поверхонь без самоперетинів може являти собою лише набір вкладених торів[1] (рис. 4.7). Саме на цьому принципі побудовані токамаки, стеларатори та інші тороїдальні магнітні пастки.

 

Рис. 4.7. Поверхні сталого тиску в тороїдальній магнітній пастці. Силові лінії магнітного поля та лінії струму (показані умовно) лежать на цих поверхнях.

 

Як буде показано нижче (див. п. 4.2.5), магнітне поле від поверхні до поверхні змінюється: воно мінімальне на допоміжній осі тора і зростає при віддаленні від неї. Таким чином, градієнт магнітного поля спрямований перпендикулярно до магнітних поверхонь. В результаті виникає градієнтний дрейф, який і забезпечує струм, перпендикулярний і магнітному полю, і градієнту тиску.

 

4.2.2. Магнітний тиск та пружність магнітних силових ліній

На основі рівнянь (4.11)-(4.13) можна отримати прості якісні уявлення про вплив магнітного поля на плазму, які виявляються корисними при аналізі утримання плазми магнітним полем.

Підставляючи першу з формул (4.13) до правої частини (4.11), отримаємо:

. (4.14)

Тоді умова рівноваги (4.11) може бути подана у вигляді

. (4.15)

Введемо одиничний вектор h = B /B вздовж магнітного поля. Тоді для довільного вектора u величина h (h × u) дасть поздовжню щодо магнітного поля компоненту u, а величина u –– h (h × u) – поперечну компоненту u. Розписуючи за такою схемою вираз grad В2, отримаємо:

. (4.16)

(оператор Ñ^ºÑ– h (h ×Ñ) діє в площині, перпендикулярній до магнітного поля). З іншого боку,

. (4.16 а)

Оскільки вектор [ B ´[Ñ´ B ]] перпендикулярний до B, а, отже, й до h, то

. (4.17)

Тому послідовна підстановка (4.16 а) до останнього доданку в правій частині (4.16), а отриманого результату – до (4.15) дає:

. (4.18)

Вираз у фігурних дужках у правій частині (4.18) в силу відзначеного вище є не що інше як перпендикулярна до вектора h компонента вектора (B ×Ñ) B. З іншого боку, сам вектор (B ×Ñ) B відмінний від нуля лише тоді, коли індукція поля змінюється вздовж його силової лінії, тобто коли магнітні силові лінії не є паралельними прямими. Тому праву частину (4.8) можна переписати у формі n B2/4pR, де n – нормаль до викривленої силової лінії, що лежить у площині, яка її вміщує, а R – радіус кривини цієї лінії (рис. 4.8 а).

Остаточно умова рівноваги (4.18) записується у формі:

. (4.19)

 

а   б
Рис. 4.8: а – радіус кривини та нормаль до плоскої кривої; б – сила, спричинена вигином магнітної силової лінії.

 

На основі аналізу співвідношення (4.19) можна сказати, що магнітне поле створює тиск pm=B2/8p в поперечному напрямку і породжує додаткову силу B2/4pR в напрямку увігнутості силових ліній (рис. 4.8 б) – вони начебто прагнуть зменшити свою довжину до мінімуму. Справді, доданок у правій частині (4.19) аналогічний доданку T¶2u/¶x2, що визначає силу на одиницю довжини деформованої струни, причому ¶2u/¶x2=1/R. Отже, величина B2/4p виступає в ролі «сили натягу» магнітної силової лінії. Таким чином, силові лінії магнітного поля в плазмі поводять себе як натягнуті пружні нитки, що розштовхуються.

Співвідношення між газокінетичним та магнітним тиском визначає часто вживана величина b=p/pm=8pp/B2.

 

4.2.3. z-пінч

Розглянемо тепер рівноважні конфігурації плазми на найпростішому модельному прикладі аксіально-симетричного нескінченного плазмового стовпа. Рівновага досягається шляхом стиснення плазми або поздовжнім магнітним полем (q-пінч), або власним полем струму, що протікає вздовж плазмового стовпа (z-пінч). Назва в кожному випадку вказує на напрямок струму, який підтримує рівновагу.

Для простоти вважатимемо аксіально-симетричний плазмовий стовп однорідним за довжиною. Нехай вісь його симетрії збігається з віссю z циліндричних координат r, q, z. В силу симетрії задачі залежність поля від q та z відсутня. Тоді з теореми Гаусса для магнітного поля (друге рівняння (4.13)) випливає, що радіальна компонента поля має дорівнювати нулеві[2]. Таким чином, магнітне поле можна уявити собі як суперпозицію силових ліній, паралельних до осі z (компонента Вzz(r)), та кілець у площинах z=const, центри яких лежать на осі z (компонента Вqq(r)). Така суперпозиція, очевидно, дасть силові лінії поля у вигляді гвинтових ліній.

Оскільки маємо одну умову рівноваги (4.19) на три функції – р, Вz та Вq, то рівноважні конфігурації можуть бути найрізноманітнішими.

Нехай jq=0 і, відповідно, Вz=0. У цьому випадку реалізується звичайний пінч-ефект – стягнення плазмового шнура магнітним полем струму з густиною

(4.20)

(див. першу з формул (4.13)), який у ньому протікає. Можна сказати, що сила радіального тиску плазмового стовпа врівноважується пружною силою, обумовленою вигином магнітних силових ліній, які охоплюють цей стовп. Така конфігурація відома в літературі як z-пінч (нагадаємо, що в цьому випадку струм протікає якраз уздовж осі z).

Оскільки силові лінії магнітного поля являють собою кільця з центрами на осі z, які лежать у площинах z=const, то їхня кривина в точці r дорівнює просто r, а вектор нормалі n антипаралельний орту e r. Тоді проекцію рівняння (4.19) на напрямок e r можна записати у формі

, (4.21)

або

. (4.21 а)

Помножимо рівняння (4.11 а) на r2dr і проінтегруємо від 0 до ¥. Отримаємо:

. (4.22)

Інтеграл у лівій частині (4.22) беремо по частинах:

, (4.23)

де Ne – число електронів на одиницю довжини шнура (враховано, що в плазмі, утвореній електронами та однозарядними іонами, p=2nekBT, а на нескінченності плазма відсутня, і там р=0; крім того, прийнято, що градієнт температури відсутній).

Інтеграл у правій частині (4.22) дає величину (rBq)2/8p. Але на нескінченності rBq=2І/с, де І – повний струм плазмового стовпа. Тому умова (4.22) остаточно може бути подана у вигляді:

. (4.24)

Умова (4.24) визначає рівновагу z-пінчу. Вона відома в літературі як умова Беннета.

За наявності аксіального магнітного поля, якщо тиск плазми малий, стягання шнура азимутальним магнітним полем може компенсуватися збільшенням аксіального магнітного поля всередині шнура. При цьому виникає своєрідний парамагнетизм плазми – поле в плазмовому стовпі виявляється більшим, ніж за її межами.

 

4.2.4. q-пінч. Діамагнетизм плазми

Нехай тепер, навпаки, jz=0, відповідно й Вq=0. У цьому випадку утримання плазми здійснюється азимутальним струмом jq, звідки, як уже вказувалось, і походить назва такої конфігурації – q-пінч. Для нього магнітні силові лінії є прямими, паралельними до осі z. В результаті умова рівноваги (4.9) набуває вигляду

, (4.25)

тобто газокінетичний тиск плазми врівноважується магнітним тиском зовнішнього (щодо плазми) магнітного поля. Можна сказати, що радіальний тиск стовпа плазми врівноважується силою розштовхування магнітних силових ліній, які його оточують.

Оскільки всередині плазмового стовпа магнітне поле виявляється меншим, ніж за його межами, то можна сказати, що плазма в цьому випадку є діамагнетиком, і, відповідно, її магнітна проникність менша за одиницю.

Механізм діамагнетизму плазми пов’язаний із діамагнітним дрейфом (див. вище п. 3.4.3). Зумовлений діамагнітним дрейфом замкнений струм, що обтікає плазмове утворення (рис. 3.5), породжує всередині цього утворення магнітне поле, антипаралельне зовнішньому. З іншого боку, сила Ампера, пов’язана з цим струмом, якраз урівноважує газокінетичний тиск плазми в стовпі.

Діамагнетизм плазми суттєво ускладнює проблему її утримання магнітним полем. Справді, як відомо, магнітні силові лінії концентруються в областях із максимальною магнітною проникністю m. Навпаки, магнетики, у яких m>1, втягаються в область сильного магнітного поля (подібно до того, як діелектрики втягаються в область сильного електростатичного поля). Плазма, у якої m<1, намагається перетекти в область, де магнітне поле мінімальне, тобто за межі магнітної пастки (зрозуміло, що в усіх реальних пастках поле на периферії прямує до нуля).

Таким чином, діамагнетизм плазми призводить до появи сил, які прагнуть виштовхувати плазму з областей сильного магнітного поля. Це робить утримання плазми надзвичайно складним завданням.

 

4.2.5. Магнітні пастки

Основний недолік як z-пінча, так і q-пінча полягає в тому, що в реальних ситуаціях, коли вони мають обмежену довжину, плазма швидко витікає з них через торці стовпа.

Одним з можливих варіантів розв’язання проблеми є використання періодично неоднорідного магнітного поля в q-пінчі (рис. 4.9). В цьому випадку ми отримаємо пастку, складену з послідовності магнітних дзеркал (магнітних пробок). Принцип роботи магнітного дзеркала розглядався в курсі фізичної електроніки. Нагадаємо, що в такій системі заряджені частинки, швидкість яких спрямована під достатньо великими кутами до осі, відбиваються від згущень магнітних силових ліній. Просторова періодичність, тобто наявність послідовності окремих пасток, суттєво збільшує час утримання плазми в таких системах.

 

    Рис. 4.9. Конфігурація магнітного поля в аксіально-симетричній пастці з магнітними дзеркалами.

 

Принципово інший підхід до розв’язання проблеми полягає в тому, щоб скрутити q-пінч у коло великого радіусу (рис. 4.10 а). Тоді втрати за рахунок торців зникнуть.

На перший погляд, умови рівноваги плазми для такої конфігурації магнітного поля мають зберігатися. Але в дійсності вигин магнітних силових ліній породжує відцентровий дрейф. Відцентрова сила спрямована в радіальному напрямку, магнітне поле – в азимутальному, тому швидкість відцентрового дрейфу буде спрямована в аксіальному напрямку, тобто перпендикулярно до площини, що вміщує магнітні силові лінії. Оскільки напрямок відцентрового дрейфу залежить від знаку зарядів, то електрони й іони рухатимуться в протилежних напрямках.

Розділення зарядів приведе до появи аксіальної компоненти електричного поля. В результаті розпочнеться дрейф у схрещених полях, спрямований у радіальному напрямку, який призведе до викидання плазми на стінку тороїдальної камери (рис. 4.10 б).

Один із можливих шляхів розв’язання цієї проблеми, що реалізується в так званих токамаках (скорочення від словосполучення “тороїдальна магнітна камера”) – це додаткове створення полоїдальної компоненти магнітного поля. Силові лінії сумарного поля являють собою спіралі, що намотуються на вкладені тороїдальні поверхні (див. рис. 4.10 в; пор. з рис. 4.7). Якщо густина цих поверхонь на периферії тора зростатиме, то плазма в принципі може бути в рівновазі з магнітним полем. Цікаво відзначити, що на більшості таких поверхонь силові лінії будуть незамкненими спіралями, тобто матимуть нескінченну довжину.

З’ясуємо, чому магнітні силові лінії у формі гвинтових ліній, навитих на поверхню тора, перешкоджають виникненню в плазмі електричного поля і пов’язаного з ним дрейфу в схрещених полях. Оскільки заряджені частинки рухаються переважно вздовж магнітних силових ліній, то деякий обраний об’єм плазми в процесі руху буде опинятися то на зовнішній, то на внутрішній стороні тора. В цих областях напрямки відцентрової сили і, відповідно, напрямки швидкостей відцентрового дрейфу електронів та іонів будуть однаковими, але сам згусток «перевернеться догори ногами» (рис. 4.10 г). В результаті, якщо на зовнішньому боці тора електрони та іони розділялися, то на внутрішньому вони будуть зближуватися. В результаті в середньому розділення зарядів не виникатиме, а отже, не виникне й породжений цим процесом дрейф у схрещених полях.

 

а б
в г
Рис. 4.10. До пояснення будови тороїдальних магнітних пасток: а – пастка з тороїдальним магнітним полем (t – тороїдальний кут, q – полоїдальний кут); б – переріз такої пастки, що проходить через головну вісь тора; в – оптимальна конфігурація магнітного поля в тороїдальній пастці (1 – магнітні поверхні, 2 – силові лінії магнітного поля); г – усунення ефекту розділення зарядів, обумовленого відцентровим дрейфом, завдяки обертанню плазми навколо допоміжної осі тора.

 

 

Контрольні питання до підрозділу 4.2

1. Які сили з боку магнітного поля можуть діяти на плазму?

2. Які фізичні причини обумовлюють можливість утримання плазми магнітним полем?

3. Які конфігурації магнітного поля здатні забезпечити утримання плазми?

4. Які конфігурації магнітного поля здатні забезпечити утримання аксіально-симетричного плазмового стовпа?

5. В чому полягає явище діамагнетизму плазми? Як воно впливає на утримання плазми магнітним полем?

6. Які сили утримують плазмовий стовп у z-пінчі?

7. В чому полягає фізичний зміст умови Беннета?

8. Чому в умову Беннета не входить радіус плазмового стовпа?

9. Чому тороїдальної компоненти магнітного поля недостатньо для утримання тороїдального плазмового шнура?

 

Задачі до підрозділу 4.2

1. Яка індукція магнітного поля потрібна, щоб урівноважити тиск плазми в 1 Торр?

2. Який струм повинен протікати вздовж плазмового стовпа радіусом 10 см, щоб створюване цим струмом магнітне поле його утримувало? Концентрація плазми – 1010 см-3, температура – 10 еВ.

 

 


Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 117 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)