Интеграл Дюамеля.

(15)

Кроме того, имеют место следующие предельные соотношения:

1)

2) если существует предел

3) если сходится несобственный интеграл

Таблица оригиналов и их изображений

№	Оригинал	Изображение
	h (t)
	e^a^t
	t^n
	sinbt
	cosbt
	shbt
	chbt
	t^ne^at
	e^a^tsinbt
	e^a^tcosbt
	t×sinbt
	t×cosbt

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и аналитичность преобразования Лапласа.

2. Свойства преобразования Лапласа (линейности, подобия, смещения, запаздывания).

3. Дифференцирование оригинала и изображения.

4. Интегрирование оригинала и изображения.

5. Понятие свертки. Изображение свертки. Интеграл Дюамеля.

6. Методы отыскания оригинала по изображению.

7. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.

ЗАДАНИЯ

Задание1. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:

1.1. t	1.2. sin t	1.3. cos t
1.4. ch t	1.5. e^t	1.6. 2^t
1.7. sin 2t	1.8. cos 2t	1.9. sh 2t
1.10. 3^t	1.11. 1 - 2t	1.12. sin 3t
1.13. t - sin t	1.14. te^t	1.15. t - e^t
1.16. sin^2t	1.17. tsh t	1.18. cos^2t
1.19. sin 3t	1.20. cos 3t	1.21. sh 3t
1.22. 5^t	1.23. te^-2t	1.24. t sin t
1.25. sh t	1.26. ch 2t	1.27. e^-5t
1.28. t^2	1.29. cos 3t	1.30. tch t
1.31 2t - e^2t	1.32. t cos t	1.33 3 -5t
1.34. t - cos t	1.35. 5 - e^t	1.36. 3t - 3^t
1.37 sin^23t	1.38 tsh5 t	1.39 t sin2 t
1.40. 2t - 5^t	1.41. t^2-3t+7	1.42 cos^22t
1.43. t^2sh2 t	1.44 t cos^2 t	1.45. t^3
1.46. te ^-3t	1.47. 3t - 2t^2	1.48. 7 t –cos3 t
1.49. t cos2 t	1.50. t sin^2t

Задание 2. Найти изображения следующих функций:

2.1	a) 2sint-cos3t	б) t^2cost	г) sin(t-2)h(t-3)
		в)	д)
2.2	a) t^2e^t	б) t^2sint	г) cos(t-3)h(t-2)
		в)	д)
2.3	a)	б) t^2sht	г)sin(t-3)h(t-2)
		в)	д)
2.4	a) t-sin3t	б) t^2cht	г) cos(t-2)h(t-1)
		в)	д)
2.5	a) t+2sin3t	б) t^2cost	г) e^t-2h(t-1)
		в)	д)
2.6	a) e^2tsint	б) t^2sin2t	г) th(t-1)
		в)	д)
2.7	a) e^tsin3t	б) t^2ch2t	г) th(t-2)
		в)	д)
2.8	a) e^2tcos3t	б) t^2sh2t	г) (t-1)h(t-2)
		в)	д)
2.9	a) t^3+sin3t	б) t^2sh3t	г) sin(t-1)h(t)
		в)	д)
2.10	a) cos^2t	б) t^2sin3t	г) (t-3)h(t-3)
		в)	д)
2.11	a) sin^2t	б) t^2cos3t	г) (t+2)h(t-1)
		в)	д)
2.12	a) 4t^2cos2t+sh2t	б) e^2cos^2t	г) e^th(t-1)
		в)	д)
2.13	a) te^t+cht	б) t^2ch3t	г) e^t+2h(t-1)
		в)	д)
2.14	a) (t+1)sint	б) costcos3t	г) sinth(t-3)
		в)	д)
2.15	a) tsin5t	б) sintcos3t	г) costh
		в)	д)
2.16	a) tcost	б) e^tsin^2t	г) sinth(t- )
		в)	д)
2.17	a) tsin2t	б) e^tcos^2t	г) costh(t- )
		в)	д)
2.18	a) t-sin^2t	б) t^4e^t	г) e^th(t-4)
		в)	д)
2.19	a) t-cos^2t	б) t^2e^-2t	г) (t-1)h(t-1)
		в)	д)
2.20	a) t^3+tcost	б) sin^23t	г) th(t-2)
		в)	д)
2.21	a) tsh2t	б) cos2tcos3t	г) e^2th(t-1)
		в)	д)
2.22	a) e^5tcos3t	б) t^2sin4t	г) e^3^th(t-1)
		в)	д)
2.23	a) e^5tsin3t	б) tcos^22t	г) e^-2th(t-1)
		в)	д)
2.24	a) (t+1)sin3t	б) tsin^23t	г) e^-5th(t-2)
		в)	д)
2.25	a) (t+2)sh3t	б) t^2cht	г) th(t+2)
		в)	д)
2.26	a) (t+2)ch3t	б) t^3e^-4t	г) e^3^th(t-1)
		в)	д)
2.27	a) cos^22t	б) t^3cos^22t	г) e^t+1h(t-2)
		в)	д)
2.28	a) sin^32t	б) tsin^22t	г) (t+1)h(t-2)
		в)	д)
2.29	a) tcost+t^4	б) t^3e^-5t	г) th(t-5)
		в)	д)
2.30	a) e^3tcost	б) t^3e^4^t	в) t^2h(t-3)
		г)	д)
2.31	a) cos^32t	б)te^–2tsin3t	г) (t-1)^2h(t-2)
		в)	д)
2.32	a) 3sint-cos5t	б) t^3sint	в) sin(t-2)h(t-3)
		г)	д)
2.33	a) t^3e^t	б) t^2sh3t	в) cos(t-3)h(t-2)
		г)	д)
2.34	a)	б) t^3cht	в) e^t^-1h(t-2)
		г)	д)
2.35	a) t-sin5t	б) t^3cos3t	в) th(t-3)
		г)	д)
2.36	a) t+3sin2t	б) t^3cost	г) th(t-3)
		в)	д)
2.37	a) e^4tsint	б) t^3ch3t	в) (t-3)h(t-2)
		г)	д)
2.38	a) e^tsin5t	б) t^4sh4t	в) sin(t-2)h(t)
		г)	д)
2.39	a) e^tsin5t	б) t^2sh6t	в) (t-5)h(t-5)
		г)	д)
2.40	a) t^5+sin5t	б) t^3sin2t	в) (t+1)h(t-2)
		г)	д)
2.41	a) sin^23t	б) e^3cos^2t	в) e^t^+1h(t-2)
		г)	д)
2.42	a) 5t^2cos3t+sh3t	б) t^2ch5t	в) sinth(t-4)
		г)	д)
2.43	a) 3te^t+ch2t	б) cos5tcos3t	в) costh
		г)	д)
2.44	a) (t+7)sint	б) sin3tcost	в) sinth(t- )
		г)	д)
2.45	a) tsin7t	б) e^2tsin^2t	в) e^-5^th(t-5)
		г)	д)
2.46	a) t^5-2sin^2t	б) t^3e^-4t	в) th(t-4)
		г)	д)
2.47	a) t^2-2cos^2t	б) sin^26t	в) e^4^th(t-2)
		г)	д)
2.48	a) t^2+tcos3t	б) cos2tcos5t	в) e^4^th(t-3)
		г)	д)
2.49	a) (t+3)sin5t	б) t^2ch3t	в) e^6^th(t-4)
		г)	д)
2.50	a) (t+1)ch7t	б)te^–3tsin2t	в) e^t^+2h(t-1)
		в)	д)

Задание 3. Найти оригиналы по заданным изображениям:

3.1	а) ;	б) .
3.2	а) ;	б) .
3.3	а) ;	б) .
3.4	а) ;	б) .
3.5	а) ;	б) .
3.6	а) ;	б) .
3.7	а) ;	б) .
3.8	а) ;	б) .
3.9	а) ;	б) .
3.10	а) ;	б) .
3.11	а) ;	б) .
3.12	а) ;	б) .
3.13	а) ;	б) .
3.14	а) ;	б) .
3.15	а) ;	б) .
3.16	а) ;	б) .
3.17	а) ;	б) .
3.18	а) ;	б) .
3.19	а) ;	б) .
3.20	а) ;	б) .
3.21	а) ;	б) .
3.22	а) ;	б) .
3.23	а) ;	б) .
3.24	а) ;	б) .
3.25	а) ;	б) .
3.26	а) ;	б) .
3.27	а) ;	б) .
3.28	а) ;	б) .
3.29	а) ;	б) .
3.30	а) ;	б) .
3.31	а) ;	б) .
3.32	а) ;	б) .
3.33	а) ;	б) .
3.34	а) ;	б) .
3.35	а) ;	б) .
3.36	а) ;	б) .
3.37	а) ;	б) .
3.38	а) ;	б) .
3.39	а) ;	б) .
3.40	а) ;	б) .
3.41	а) ;	б) .
3.42	а) ;	б) .
3.43	а) ;	б)
3.44	а) ;	б) .
3.45	а) ;	б) .
3.46	а) ;	б) .
3.47	а) ;	б) .
3.48	а) ;	б) .
3.49	а) ;	б) .
3.50	а)	б) .

Задание 4. Операционным методом решить дифференциальные уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

4.1		4.2
4.3		4.4
4.5		4.6
4.7		4.8
4.9		4.10
4.11		4.12
4.13		4.14
4.15		4.16
4.17		4.18
4.19		4.20
4.21		4.22
4.23		4.24
4.25		4.26
4.27		4.28
4.29		4.30
4.31		4.32
4.33		4.34
4.35		4.36
4.37		4.38
4.39		4.40
4.41		4.42
4.43		4.44
4.45		4.46
4.47		4.48
4.49		4.50

Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений:

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

5.21. 5.22.

5.23. 5.24.

5.25. 5.26.

5.27. 5.28.

5.29. 5.30.

5.31. 5.32.

5.33. 5.34.

5.35. 5.36.

5.37. 5.38.

5.39. 5.40.

5.41. 5.42.

5.43. 5.44.

5.45. 5.46.

5.47. 5.48.

5.49. 5.50.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1: Пользуясь определением, найти изображение функции е^2t.

Решение: В силу формулы (2) имеем

Пример 2: Найти изображение функции е^2tsin 7 t.

Решение: Применяя формулу 9 из таблицы изображений при a =2, b =7, будем иметь

Пример 3: Найти изображение функции

Решение: Воспользуемся свойством интегрирования оригинала и результатом решения предыдущего примера, будем иметь

Пример 4: Найти изображение функции

Решение: Т. к. то в силу теоремы о свертке (см. (14)) будем иметь

Пример 5: Найти изображение функции

е^2tsin 7(t- 3)× h (t- 3).

Решение: Преобразуем выражение так, чтобы можно было воспользоваться теоремой запаздывания

е^2t × sin 7(t- 3)× h (t- 3)= е⁶ × е^2(t-3) × sin 7(t- 3)× h (t- 3)¸

Пример 6: Найти изображение функции

(t² +1) е^-t.

Решение: Используя свойство линейности и формулы 2 и 8 в таблице изображений, получим

Пример 7: Найти оригинал функции

Решение: Представим данную дробно-рациональную функцию в виде суммы простейших дробей:

Здесь мы воспользовались формулами 2 и 3 из таблицы оригиналов.

Операционный метод особенно просто применяется к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентами и систем таких уравнений. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пример 8: Решить дифференциальное уравнение х²+х¢=е ^{2 t}.

Решение: Пусть x (t)¸ X (p), тогда x¢ (t)¸ рX (p)-1, x¢¢ (t)¸ р ² X (p)- р- 2, x¢¢¢ (t)¸ р ³ X (p)- р ² - 2 р- 0 согласно свойству дифференцирования изображения, кроме того, Тогда данное уравнение в изображениях примет вид:

Разложив функцию Х (р) на простейшие дроби с помощью неопределенных коэффициентов, получим

Тогда решение х (t)=0,5+0,1 e ^{2 t}+ 0,4cos t +1,8sin t.

Пример 9: Решить систему

при начальных условиях х (0)= х¢ (0)=1, у (0)= у¢ (0)=0.

Решение: Пусть x (t)¸ X (p), у (t)¸ У (p), тогда x¢ (t)¸ рX (p)-1, x¢¢ (t)¸ р ² X (p)- р- 1, у¢ (t)¸ рУ (p), у¢¢ (t)¸ р ² У (p), согласно свойству дифференцирования изображения. Перейдем к операторной системе

Для упрощения системы найдем сумму и разность ее уравнений:

.

Отсюда

.

Переходя к оригиналам, найдем решение

.

Дата добавления: 2015-10-30