Приближенное вычисление определенных интегралов.

Наиболее часто используемый метод численного интегрирования основан на замене подынтегральной функции интерполированной, как правило, не выше квадратичной.

Пусть требуется вычислить интеграл

от функции, заданной на [a, b] значениями f₀, f₁, …, f_n в n узловых точках x₀, x₁, …, x_n.

Рис. 1

Разобьем [a, b] на m отрезков, которые могут содержать несколько узлов (рис.1a). Тогда

На каждом отрезке [x_i, x_i+k ], содержащем k узлов, составляем интерполяционный многочлен L_k(x) (рис. 1b), и, заменяя подынтегральную функцию f(x)» L_k(x), получим

(1)

где A_j – коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от функции f, r – погрешность. Суммируя выражения (1) по всем отрезкам, получаем квадратурную формулу:

Здесь R – погрешность квадратурной формулы. Рассмотрим некоторые простые квадратурные формулы на равномерной сетке с шагом h = x_i+1 – x_i = const.

1. Формулы прямоугольников.

Простейшие формулы получаются в том случае, когда в качестве интерполирующей функции берется константа (интерполирование проводится по одной точке). В данном случае функция f(x) заменяется ступенчатой функцией (рис. 2).

Рис. 2

Если интерполяция проводится по левой или правой точке отрезка [x_i, x_i+1 ], то квадратурные формулы имеют вид соответственно (рис. 2a, b):

(2)

(3)

где h = (b – a)/n.

Формула средних. Если в качестве интерполирующей точки выбирается средняя точка между x_i и x_i+1 (рис. 2с), то

(4) где погрешность равна

(5)

Формула средних дает точное значение интеграла, если подынтегральная функция линейна.

2. Формула трапеций.

Интерполирование исходной функции по двум точкам в промежутке [x_i, x_i+1 ] между соседними узлами приводит к замене f(x) отрезком прямой, а на отрезке [a, b] – ломаной кривой (рис. 3). На равномерной сетке интеграл по формуле трапеций равен

(6)

Погрешность формулы трапеций.

(7)

Формула трапеций является точной для линейной функции f(x), однако, в данном случае погрешность вдвое выше, чем погрешность формулы средних.

Рис. 3

3. Формула Симпсона.

Квадратурная формула Симпсона на равномерной сетке имеет вид:

(8)

где шаг равен

Здесь интерполяция проводится квадратичным многочленом по трем соседним узлам x_i, x_i+1, x_i+2, вследствие этого общее разбиение отрезка должно быть таким, чтобы n = 2m было четным.

Погрешность формулы Симпсона равна

(9)

Формула Симпсона является точной для подынтегральных функций, являющихся многочленами до третьей степени включительно.

Пример 1. Вычислить интеграл по формуле трапеций (n = 10) и формуле Симпсона (n = 10) и оценить погрешность вычислений, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

Решение. Максимальные погрешности формул трапеций и Симпсона равны соответственно

где .

Для функции

имеем

Третья производная на отрезке [0,1] положительна, т.е. – возрастающая функция. Следовательно,| |достигаетнаибольшего значения на краях интервала, в данном случае

Погрешность формулы трапеций равна

Четвертая производная f равна

Экстремумы этой функции, т.е. нули функции

лежат вне интервала (0,1). Легко проверить, что M₄ = f⁽⁴⁾(0) = 12. Отсюда

В соответствии с оценками погрешности находим, что в значении интеграла, вычисленным по методу трапеций третий знак после запятой является сомнительным, а по формуле Симпсона число правильных знаков после запятой не превышает пяти. Вычисление функций в узлах проводим с двумя запасными знаками (шесть знаков после запятой).

i
xi		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
fi		0.990050	0.960789	0.913931	0.852144	0.778801

i
xi	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
fi	0.697676	0.612626	0.527292	0.444858	0.367879

Вычисление по формуле трапеций (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.7462106, однако с учетом погрешности | R | < 0.002 значение интеграла следует положить равным I = 0.746.

Аналогичные вычисления по формуле Симпсона (8) дают значение интеграла I = 0.7468248. Поскольку погрешность в данном случае составляет | R | < 0.67×10 ^{- 5}, то интеграл равен I = 0.74682.

4. Выбор шага интегрирования по оценке остаточного члена.

В подобных задачах требуется определить шаг сетки, который обеспечивает требуемую точность e вычисления интеграла по выбранной квадратурной формуле. Шаг выбирается из условия равенства максимальной погрешности R_max и заданной точности для данной формулы численного интегрирования

(10)

где остаточный член R определяется одним из условий (5), (7), (9) соответствующей квадратурной формулы. Тогда для формулы средних (прямоугольников), трапеций и Симпсона получаем следующие выражения R_max, соответственно:

(11)

где .

Пример 2. Вычислить интеграл

по формуле трапеций с точностью e = 10 ^{- 4}, определяя шаг h по оценке остаточного члена.

Решение. Величину шага интегрирования определим из соотношения (10) с максимальной погрешностью R_T, соответствующей формуле трапеций.

Для функции

имеем

Используя представления в виде отрезка ряда

можем записать

Экстремумы функции F(x) лежат за пределами . Так как (p/2) = - 0.121 и (p/4) = - 0.274,то M₂ = 0.274.

В результате (b-a)/h = 10.5, и следовательно интервал интегрирования следует разбить на n = 11 отрезков.

Составляем таблицу значений функции в узлах с шагом h = p /44.

i
xi
fi	0.900316	0.882063	0.862468	0.841592	0.819497	0.796248

i
xi
fi	0.771916	0.746573	0.720293	0.693154	0.665236	0.636620

Вычисление по формуле (6) с данными из таблицы дает значение интеграла I = 0.611719. Поскольку заданная точность может приводить к погрешности в четвертом знаке результата, то в ответе следует удержать 4 знака I = 0.6117.

5. Процедура двойного пересчета (правило Рунге).

Оценка максимальной погрешности R_max часто связана с выполнением громоздких вычислений, поэтому на практике используется процедура двойного пересчета. Величина интеграла I рассчитывается сначала с шагом h (n интервалов), затем на сетке с вдвое меньшим шагом h/2 (2n интервалов). Здесь роль погрешности метода вычислений играет величина

(12)

Более точные оценки погрешности дают формулы Рунге для выбранной квадратурной формулы:

(13)

для формулы средних и трапеций

(14)

для формулы Симпсона.

Если D не превосходит заданной погрешности e, т.е. D < e, то вычисления прекращают и полагают

.

Если точность не достигается, то процедуру уменьшения шага повторяют вновь.

Поскольку в данном случае априорная погрешность метода неизвестна, то невозможно использовать выражения (11). Однако, согласно этим соотношениям погрешность имеет вид для формулы средних и трапеций R = a h², а для формулы Симпсона R = a h⁴, где a и b – константы. Следовательно, шаг определяется соотношением h = const , где k = 2 или k = 4 в зависимости от метода вычисления. На практике константу полагают равной единице, и в качестве начального шага выбирается величина для формул трапеций и средних, и для формулы Симпсона. Если точность вычисления интеграла невысока, то в качестве начальной сетки выбирают разбиение на 8 – 10 отрезков.

Пример 3. Используя процедуру двойного пересчета, вычислить по формуле Симпсона интеграл

с точностью e = 2×10 ^{- 4}.

Решение. Вначале отрезок интегрирования разбиваем на 8 частей и вычисляем интеграл при h = p/8. Значения аргументов и подынтегральной функции приведены в таблице:

i
xi									p
fi		0.284012	0.460075	0.612355	0.785398	1.020591	1.380226	1.988086	p

По формуле Симпсона вычисляем значение интеграла при h = p/8 (n=8):

I₈ = 3.143317

Из этой же таблицы находим значение интеграла при h = p/4 (n=4):

I₄ = 3.160861

По формуле (12) находим, что разность

| I₈ –I₄| = 0.016 > e = 2×10 ^{- 4}

Погрешность D, вычисленная по формуле Рунге (14), также превышает e. Поэтому вычисления следует выполнить с вдвое меньшим шагом h = p /16 (n=16). Результаты вычисления аргумента и функции сводим в следующую таблицу:

i
xi
fi		0.164296	0.284012	0.378671	0.460075	0.536043	0.612355	0.693889

								p
0.785398	0.892144	1.020591	1.179296	1.380226	1.640905	1.988086	2.464452	p

Значение интеграла, вычисленное по этой таблице равно

I₁₆ = 3.141716

Разность | I₁₆ –I₈| = 0.0016. Согласно соотношению (14) погрешность

Следовательно, значение интеграла I = I₁₆ =3.1417.

6. Интегрирование с помощью степенных рядов.

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

сходящийся в интервале – R £ x £ R, который содержит отрезок интегрирования [ a, b ]. Тогда интеграл можно почленно проинтегрировать

Если ряд сходится быстро, то его можно заменить частной суммой

В данном случае, погрешность складывается из погрешности округления членов суммы и погрешности обрезания ряда, равной остатку ряда.

Для знакопеременного ряда абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда. В других случаях используют мажорантные оценки известными рядами.

Пример 4. Вычислить интеграл

с точностью e = 10 ^{- 4} путем разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить количество слагаемых в приближенном выражении интеграла по формуле трапеций с той же точностью

Решение. Для функции имеем разложение

Интегрирование почленно дает

Поскольку ряд знакопеременный, то достаточно удержать столько членов, чтобы первый отброшенный был менее 10 ^{- 4}. Этому условию удовлетворяет третье слагаемое, поскольку

Следовательно, интеграл равен

Погрешность формулы трапеций определяется формулой (11). Максимум функции находим из условия экстремума

Решение уравнения

имеет единственное решение x=0 и оно соответствует максимуму . По формуле (11) находим

Следовательно, шаг , т.е. для достижения указанной точности по формуле трапеций следует взять около 30 слагаемых.

Задачи.

1. Определить погрешность формул прямоугольников (2) и (3).

2. Вычислить интегралы по формуле средних при n = 10, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования и оценить погрешность вычислений.

a) b)

c) d)

3. Вычислить интегралы по формуле трапеций (n = 10) и формуле Симпсона (n = 10) и оценить погрешность вычислений, где n – количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования.

a) b) c)

4. Вычислить интегралы по формуле трапеций с точностью e, определяя шаг h по оценке остаточного члена.

a) b) c)

5. Вычислить интегралы по формуле Симпсона с точностью e = 10 ^{– 3} используя процедуру двойного пересчета.

a) , b) , c)

6. Вычислить интеграл с точностью e, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.

a) b) c)

7. Вычислить по формуле трапеций интеграл

при четном и нечетном количестве узлов равномерной сетки.

8. Каким образом следует выбрать узлы сетки, чтобы интеграл

вычисленный по формуле Симпсона имел наименьшую погрешность.

9. Вычислить интеграл, заданный таблицей, и оценить погрешность:

i
xi		1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4	2.6
fi	0.5	0.5455	0.5833	0.6154	0.6429	0.6667	0.6875	0.7059	0.7222

Ответы и указания.

3a). I = 0.746, | R | < 0.002; I = 0.74682, | R | < 0.67 10 ^-5

3b). I = 0.311, | R | < 1.9 10 ^-3; I = 0.3103, | R | < 1.6 10 ^-5

3c). I = 0.903, | R | < 3.2 10 ^-3; I = 0.9045, | R | < 1.3 10 ^–5

4a). I = 0.78 4b). I = 0.88137 4c). I = 0.6118

5a). I = 0.364 5b). I = 0.531 5c). I = 2.353

6a). I = 1.60543 6b). I = 1.852 6c). I = 0.7468

7). I = 1, n = 2k; I = 1+1/n², n = 2k +1

8). Учесть, что формула Симпсона является точной для кубических для многочленов

Дата добавления: 2015-10-30