Дополнительные задачи. 1. Используя теорему существования определенного интеграла

Вариант 1

Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а) ; б) ; в) .

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать

4. Чему равны выражения: и , если f (t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) б) , в) , г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

6. Вычислить , если f (x) = .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) , а > 0, б)

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти её площадь:

а) y = ln(x +1), y = 2, x = 0; б) r = 2j, j = a, j = b.

2. Найти длину дуги кривой: а) ; б) , где .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями , у = 3, у = 12 и осью ОУ.

4. Скорость точки изменятся по закону м/c. Найти путь, пройденный точкой за 6 секунд от начала движения.

5. Определить давление воды на прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

6. Вычислить работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы: .

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти:
а) ; б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти значение Q, при котором S₁ = S₂ :

7. Найти длину спирали Архимеда r = a j, jÎ[0, 2p].

8. В цилиндрический стакан с водой вложен параболоид вращения вершиной вниз. Основание и высота параболоида совпадают с основанием и высотой цилиндра. Найти объем оставшейся в стакане воды, если радиус основания r, а высота h.

9. Найти статический момент окружности r = 2 a sinj относительно полярной оси.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б) да; в) нет. 2. 0. 3. а) > ; б) < . 4. , . 5. а)190; б) ; в) 3; г) ; д) 2 а (3+ln4); е) ; ж) ; з) –2p. 6. 7. а) ; б) расходится.

Часть 2: 1. а) е ²–3; б) . 2.. ; б) . 3. 4π. 4. 384 м. 5. 324ρg. 6.8дж

Вариант 2

Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а) ; б) ; в) .

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать

4. Чему равны выражения: и , если F (t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) б) , в) , г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

6. Вычислить , если f (x) = .

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) б) , а > 0.

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти её площадь:

а) y =1, y = 3, xy = a, х = 0 б) .

2. Найти длину дуги кривой: а) ; б) , где .

3. Найти объем тела, ограниченного параболоидом вращения x =3(y ² + z ²) и плоскостью x = 2.

4. Скорость тела изменятся по закону м/c. Найти путь, пройденный телом за 1час и 20 мин от начала движения. Чему равна средняя скорость движения тела за этот промежуток времени?

5. В каком случае пластинка, погруженная в воду, испытывает большее давление (см. рисунок)?

6. Материальная точка М движется по координатной прямой под действием силы, величина которой меняется пропорционально расстоянию точки от начала координат О. Известно, что направление силы совпадает с направлением оси, и, что она равнялась 1Н, когда расстояние МО было равно 3м. Вычислить работу этой силы по перемещению точки на расстояние 15 м от начала координат.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти:
а) ; б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к графику функции в точке (0;2).

7. Найти длину кардиоиды .

8. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями , x =1, y =0, вращается вокруг оси ОХ. Найти объем полученного тела.

9. Найти моменты инерции эллипса относительно обеих его осей.

Ответы. Часть 1: 1. а) нет; б)нет; в) да. 2. 0. 3. а) > ; б)) < .

4. , . 5. а) ; б) ; в) ; г) ; д) 3(12+4ln3); е) ; ж) ; з) .

6. + . 7. а) расходится; б) . Часть 2: 1. а) а ln3. б) 2 а ². 2. а) ; б) Т²/2.

3. 2π/3. 4. 5.Р_а)>Р_б). 6. 37,5 дж

ВАРИАНТ 3

Часть1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от данной функции по указанному промежутку:

а) ; б) ; в) .

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростите вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны выражения: и , если f (t)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить:

а) б) , в) , г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

7. Вычислить , если f (x) = .

8. Вычислить интегралы, или установить их расходимость: а) б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями и найти ее площадь:

а) , х = 0; б) .

2. Найти длину дуги линии:а) ; б) .

3. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг его малой оси.

4. Найти массу стержня длинною 100 м, если линейная плотность ρ меняется по закону г/см, где х – расстояние от одного из концов стержня.

5. Найти силу, с которой жидкость удельного веса γ давит на вертикальную стенку, имеющую форму полуэллипса, большая ось которого находится на поверхности жидкости. Большая полуось эллипса а, малая ось b.

6. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину от длины 0,22 м до длины 0,32 м?

Дата добавления: 2015-10-30