Екзамен.білет № 28 1 страница

БИЛЕТ №1

4) Побудуємо математичну модель:

Цільова ф-ція: Ф(х1,х2) = 300х1+400х2, прямує до максимуму

Обмеження: 15х1+40х2<=600

50х1+30х2<=900

х1+х2<=20

Розв‘яжемо задачу симплекс методом: Початкова симплекс таблиця

Шаг 0
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3
x4
x5
ИС		-300	-400

Шаг 1
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x2		3/8		1/40
x4		155/4		-3/4
x5		5/8		-1/40
ИС		-150

Шаг 2
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x2				1/25		-3/5
x4				4/5		-62
x1				-1/25		8/5
ИС

Оптимальний план x = (8, 12) Ф(x)= 7200

Будуємо двоїсту задачу Ф(у) = 600у1+900у2+20у3 прямує до min Обмеження:15у1+50у2+у3>=300; 40у1+30у2+у3>=400

Розв‘яжемо задачу симплекс методом

Шаг 0
Базис	БП	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	z 1	z 2
z1					-1
z2						-1
ИС	-700M	-55M+600	-80M+900	-2M+20	M	M

Елемент (1,2)

Баз	БП	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	z 1	z 2
y2		3/10		1/50	-1/50		1/50
z2				2/5	3/5	-1	-3/5
ИС	-220M-5400	-31M+330		-2/5M+2	-3/5M+18	M	8/5M-18

Елемент(2,1)

Базис	БП	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	z 1	z 2
y2	120/31			1/62	-4/155	3/310	4/155	-3/310
y1	220/31			2/155	3/155	-1/31	-3/155	1/31
ИС	-240000/31			-70/31	360/31	330/31	M-360/31	M-330/31

Елемент(1,3)

Базис	БП	y 1	y 2	y 3	y 4	y 5	z 1	z 2
y3					-8/5	3/5	8/5	-3/5
y1			-4/5		1/25	-1/25	-1/25	1/25
ИС	-7200						M-8	M-12

Розв‘язок y* = (4, 0, 240) f(x*)= 7200

Двоїста оцінка для ресурсу шліфувального апарату – у1 = 4, тобто при збільшенні ресурсу на 1, цільова ф-ція зросте на 4.

5 ) L(x1,x2,x3,λ1,λ2) = x1x2+x2x3+λ1(x1+x2-4)+λ2(x2+x3-4)

Отримали систему рівнянь: х2+λ1 = 0; х1+х3+λ1+λ2 = 0; х2+λ2 = 0; х1+х2-4 = 0; х2+х3 – 4 = 0

Розв‘яжемо її: х2=-λ1; λ1=λ2; х1=4-х2; х3=4-х2; х1=х3

4-х2+4-х2-х2-х2=0; х2=2; λ1=λ2=-2є; х1=2; х3=2

Побудуємо матрицю Гессе

Визначники мінорів створюють знакозмінний ряд (0,1,-4)

Точка (2,2,2) – точка максимуму

БИЛЕТ №2

4) Розглядаємо 1 квадрант (адже х1 та х2>0)

Нанесемо обмеження на координатну площину, обмежена область зоображена зафарбованою червоним кольором

Опускаємо цільову ф-цію (вектор руху перпендикулярний прямій У(х)=х/2) так, щоб вона ще перетиналася з областю, яку визначили наші обмеження, вона буде перетинатися в точці, створеній перетинами 2 прямих:

х-1=-х+2; 2х=3

Розв‘язком є точка з координатами

х1=1,5; х2=0,5 значення цільової ф-ції в цій точці 0,5.

5) Z=-2x1^2+3x2^2+4x1+5

Похідна по х1: -4х1+4

по х2:6х2

Прирівнюємо до 0, отримуємо систему

-4х1+4=0, х1=1,

6х2=0; звідси х2=0;

Перевіримо отриману точку.

Нехай A = Zxx(x1,x2); B = Zxy(x1,x2); C = Zyy(x1,x2); D = AC – B^2.

A=-4, B=0, C=6, D=-24. Оскільки D<0, то знайдена точка не э точкою екстремуму. Отже ф-ція не має екстремумів.

БИЛЕТ № 4

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що крайніми спільними точками прямої цільової функції та трикутника ABC є точки A та С. Координати даних точок є оптимальними планами задачі.

Координати точки A є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

Координати точки С є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: . Отже,

2)

Знайдемо перші похідні та прирівняємо їх до нуля:

Розв’язавши систему, маємо:

Для того, щоб перевірити чи є дана точка екстремумом та визначити тип екстремуму використаємо перевірку достатньої умови:

Тоді, якщо D < 0, то в точці (x0,y0) екстремума немає. Якщо D > 0, то в точці (x0,y0) екстремум функції z, причому якщо A > 0, то мінімум, а якщо A < 0, то максимум. Якщо D = 0, то екстремум може бути, а може і не бути. В даному випадку потрібні додаткові дослідження.

В нашому випадку

Отже маємо точку мінімуму.

БИЛЕТ №5

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що ОДЗ є не замкнутою і ЦФ має лише один екстремум (min).

Координати точки B є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

5) Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

(5.1)

Розв’язання

Маємо задачу лінійного програмування:

(5.2)

при обмеженні

(5.3)

Для знаходження розв’язку даної задачі спочатку слід замінити нашу цільову функцію більш складнішою – функцією Лагранжа.

(5.4)

(5.5)

де – множник Лагранжа.

Визначимо частинні похідні , , побудованої функції Лагранжа:

(5.6)

Далі прирівняємо знайдені частинні похідні до нуля:

(5.7)

(5.8)

(5.8)

(5.8)

Наступним кроком є побудова матриці Гессе, що має блочну структуру розмірністю

(5.9)

де О – матриця розмірністю , що складається з нульових елементів;

Р – матриця розмірністю , елементи якої визначаються наступним чином:

, (5.10)

– транспонована матриця до Р розмірністю ,

Q – матриця розмірністю виду:

, де . (5.11)

У нашому випадку матриця Гессе матиме наступний вигляд:

(5.19)

Визначаємо головні мінори матриці Гессе, починаючи з 2-го порядку:

(5.19)

(5.20)

Як бачимо, головні мінори утворюють знакоcталий ряд, тобто наша точка є точкою мінімуму.

Обчислимо значення цільової функції у знайденій точці:

БИЛЕТ № 6

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що крайніми спільними точками прямої ЦФ та 5-кут ABCDE є точки A та D. Координати точок є опт планами задачі.

Координати точки A є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

Координати точки D є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

5 ) Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

(5.1)

Розв’язання

Маємо задачу лінійного програмування:

(5.2)

при обмеженні

(5.3)

Для знаходження розв’язку даної задачі спочатку слід замінити нашу цільову функцію більш складнішою – функцією Лагранжа.

(5.4)

(5.5)

де – множник Лагранжа.

Визначимо частинні похідні , , побудованої функції Лагранжа:

(5.6)

Далі прирівняємо знайдені частинні похідні до нуля:

(5.8)

Наступним кроком є побудова матриці Гессе, що має блочну структуру розмірністю

(5.9)

де О – матриця ро , скл. з нульових ел.

Р – матриця , елементи якої визн. наступним чином:

, (5.10)

– транспонована матриця до Р розмірністю ,

Q – матриця розмірністю виду:

, де . 5.11)

У нашому випадку матриця Гессе матиме наступний вигляд:

(5.19)

Визн. головні мінори матриці Гессе, починаючи з 2-го порядку:

(5.19)

(5.20)

Як бачимо, головні мінори утворюють знакоcталий ряд, тобто наша точка є точкою мінімуму.

Обчислимо значення цільової функції у знайденій точці:

Білет №7

1. Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом: Z = 2x₁ + 4x₂ (max)

3x₁ + 2x₂ £ 11,

-2x₁ + x₂ £ 2,

-x₁ + 3x₂ ³ 0,

x₁³ 0; x₂ ³ 0.

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁+с₂х₂=const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁+с₂х₂=const в напрямку вектора
(для задачі максимізації) або в протилежному напрямі
(для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення.

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

2. Викор. метод множн. Лагранжа, знайти т. умовн. Екстремуму ЗНП, визначити характер екстремуму:

, .

Прирівнюємо до нуля, розв’язуємо систему, з неї отримуємо х1=-5,13; х2=6,85; =3,42 Записуємо матрицю Гессе

H= Знаходимо визначники

Білет №8

1. Знайти розв’язок прямої задачі лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

Двоїста задача

Графік

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо знач точки А у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:

третє обмеження для опт плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, доходимо висновку, що третя змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х₃ = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Ос­кільки компоненти плану додатні,то обмеження прямої задачі для X ^* виконуватимуться як строгі рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х₃ = 0, та визначити решту змінних:

x1=2/5 x2=14/5 x3=0 ЦФ = 26

2. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування, визначити характер екстремуму:

, .

Прирівнюємо до нуля, розв’язуємо систему, з неї отримуємо х1=3,4; х2=1,8; =-2,4

Записуємо матрицю Гессе

Н=

Це точка мінімуму

Білет №9

1. Знайти розв’язок прямої задачі лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

Двоїста задача

Графік

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо знач точки А у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:

перше обмеження для опт плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, доходимо висновку, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х₁ = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Ос­кільки компоненти плану додатні,то обмеження прямої задачі для X ^* виконуватимуться як строгі рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х₁ = 0, та визначити решту змінних:

Дата добавления: 2015-10-31