Читайте также:
|
|
СЕМИНАР 5
Операции над матрицами.
Вводная информация
Определение матрицы. Виды матриц.
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и
столбцов
. Матрица записывается в виде
или сокращенно (
).
- элемент матрицы, стоящий в строке с номером
и в столбце с номером
. Матрицу размерности
называют
-матрицей. В соответствии с размерностью матрицы различаются на:
1) прямоугольные матрицы или
;
2) квадратные матрицы ;
3) матрицы – строки ;
4) матрицы – столбцы .
Матрицы считаются равными , если равны все их соответствующие элементы
. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается
.
Для квадратных матриц вводятся понятия диагоналей. Главной диагональю называют диагональ, на которой стоят элементы матрицы вида . Другую диагональ называют побочной диагональю. Некоторые квадратные матрицы имеют свои названия.
1. Если все элементы матрицы равны нулю вне главной диагонали, а хотя бы один элемент на главной диагонали отличен от нуля, то матрица называется диагональной.
Пример 1.
2. Диагональная матрица, у которой все элементы на диагонали равны единице, называется единичной матрицей.
Пример 2. .
3. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают верхние треугольные и нижние треугольные матрицы.
Пример 3. Верхняя треугольная матрица имеет вид .
4. Если элементы матрицы удовлетворяют равенству , матрица называется симметрической (или симметричной).
Пример 4.
5. Если элементы матрицы удовлетворяют равенству , матрица называется кососимметрической (или антисимметричной).
Пример 5. .
Операции над матрицами.
Введем основные операции над матрицами.
1. Сложение. Суммой (разностью) двух -матриц
и
называется
-матрица
с элементами
(
).
Пример 6. .
Правило сложения определено для матриц одинаковой размерности.
Сложение матриц обладает свойствами:
1) коммутативности ;
2) ассоциативности .
2. Умножение на число. Произведением матрицы на число
называется матрица .
Пример 7. .
Произведение матриц на число удовлетворяет свойствам:
1) ;
2) ;
3) .
3. Умножение матриц. Пусть мы имеем -матрицу
и
-матрицу
. Произведением матриц
называется
- матрица
, элементы которой вычисляются по формуле
.
Пример 8.
.
Произведение матриц определено, если число столбцов в матрице
совпадает с числом строк в матрице
.
Произведение матриц обладает свойствами:
1) ;
2) ;
3) .
В общем случае произведение матриц не коммутативно . Разность
называется коммутатором матриц
и
. Если
, то матрицы
и
называются коммутирующими. Сумму
называют антикоммутатором матриц
и
.
4. Транспонирование. Транспонированной матрицей по отношению к матрице называется матрица
. Если
-
-матрица, то
-
-матрица.
Пример 9. Если , то
.
Для операции транспонирования матрицы справедливы свойства:
1) ;
2) ;
3) .
С имметричная матрица удовлетворяет свойству , антисимметричная -
. Любая матрица
может быть представлена как сумма симметричной и антисимметричной матриц
.
Определение. Матрица, удовлетворяющая свойству , называется ортогональной матрицей.
Пример 10. Ортогональной матрицей является матрица .
5. Комплексное сопряжение. Если элементы матрицы - комплексные числа, то можно ввести матрицу
, которая называется комплексно сопряженной к матрице
.
Пример 11. Пусть , тогда
.
6. Эрмитово сопряжение. Пусть матрица задана над полем комплексных чисел. Тогда матрица
называется эрмитово сопряженной к матрице
.
Пример 12. Пусть , тогда
.
Справедливо равенство .
Определение. Матрица называется унитарной, если она удовлетворяет свойству .
Пример 13. Унитарной является матрица .
7) Вычисление следа квадратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу
.
Следом квадратной матрицы называют сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали, т.е. .
ЗАДАЧИ
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 204 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Государство и право | | | Задачи повышенного уровня сложности. |