Определение матрицы. Виды матриц.

СЕМИНАР 5

Операции над матрицами.

Вводная информация

Определение матрицы. Виды матриц.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов . Матрица записывается в виде

или сокращенно (). - элемент матрицы, стоящий в строке с номером и в столбце с номером . Матрицу размерности называют -матрицей. В соответствии с размерностью матрицы различаются на:

1) прямоугольные матрицы или ;

2) квадратные матрицы ;

3) матрицы – строки ;

4) матрицы – столбцы .

Матрицы считаются равными , если равны все их соответствующие элементы . Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается .

Для квадратных матриц вводятся понятия диагоналей. Главной диагональю называют диагональ, на которой стоят элементы матрицы вида . Другую диагональ называют побочной диагональю. Некоторые квадратные матрицы имеют свои названия.

1. Если все элементы матрицы равны нулю вне главной диагонали, а хотя бы один элемент на главной диагонали отличен от нуля, то матрица называется диагональной.

Пример 1.

2. Диагональная матрица, у которой все элементы на диагонали равны единице, называется единичной матрицей.

Пример 2. .

3. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают верхние треугольные и нижние треугольные матрицы.

Пример 3. Верхняя треугольная матрица имеет вид .

4. Если элементы матрицы удовлетворяют равенству , матрица называется симметрической (или симметричной).

Пример 4.

5. Если элементы матрицы удовлетворяют равенству , матрица называется кососимметрической (или антисимметричной).

Пример 5. .

Операции над матрицами.

Введем основные операции над матрицами.

1. Сложение. Суммой (разностью) двух -матриц и называется -матрица с элементами ().

Пример 6. .

Правило сложения определено для матриц одинаковой размерности.

Сложение матриц обладает свойствами:

1) коммутативности ;

2) ассоциативности .

2. Умножение на число. Произведением матрицы на число

называется матрица .

Пример 7. .

Произведение матриц на число удовлетворяет свойствам:

1) ;

2) ;

3) .

3. Умножение матриц. Пусть мы имеем -матрицу и -матрицу . Произведением матриц называется - матрица , элементы которой вычисляются по формуле

.

Пример 8.

.

Произведение матриц определено, если число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице .

Произведение матриц обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

В общем случае произведение матриц не коммутативно . Разность называется коммутатором матриц и . Если , то матрицы и называются коммутирующими. Сумму называют антикоммутатором матриц и .

4. Транспонирование. Транспонированной матрицей по отношению к матрице называется матрица . Если - -матрица, то - -матрица.

Пример 9. Если , то .

Для операции транспонирования матрицы справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) .

С имметричная матрица удовлетворяет свойству , антисимметричная - . Любая матрица может быть представлена как сумма симметричной и антисимметричной матриц .

Определение. Матрица, удовлетворяющая свойству , называется ортогональной матрицей.

Пример 10. Ортогональной матрицей является матрица .

5. Комплексное сопряжение. Если элементы матрицы - комплексные числа, то можно ввести матрицу , которая называется комплексно сопряженной к матрице .

Пример 11. Пусть , тогда .

6. Эрмитово сопряжение. Пусть матрица задана над полем комплексных чисел. Тогда матрица называется эрмитово сопряженной к матрице .

Пример 12. Пусть , тогда .

Справедливо равенство .

Определение. Матрица называется унитарной, если она удовлетворяет свойству .

Пример 13. Унитарной является матрица .

7) Вычисление следа квадратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу

.

Следом квадратной матрицы называют сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали, т.е. .

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08