Примеры приложений рядов Тейлора

Представленные в предыдущем пункте канонические разложения могут

служить основой для получения новых разложений. Так, положив и

в последнем разложении, мы получим формулы суммы бесконечной

геометрической прогрессии со знаменателем : . Заменив в этой формуле на , получим:

.

Заменим в последней формуле на , мы получим разложение

. Последний ряд имеет радиус сходимости, равный 1. Вспомним, что внутри интервала сходимости ряды можно интегрировать

почленно и проинтегрируем обе части последнего равенства по от 0 до

тогда получим разложение: .

Еще легче получить разложение если проинтегрировать почленно ряд внутри интервала сходимости, то есть при .

Применявшуюся нами при изучении комплексных чисел формулу Эйлера также можно получить, используя разложения в ряды Тейлора-Маклорена

Частные суммы ряда Тейлора для произвольной функции можно получать с помощью программы MAXIMA. Для того, чтобы получить для конкретной функции , следует применить команду taylor(f(x),x,a,n).

П р и м е р. Для получения суммы Тейлора 7-й степени по степеням для функции следует набрать taylor(log(x)/x,x,1,7). Мы получим

Сравним полученный многочлен (красный график) с исходной функцией (синий график) на одном рисунке. Для этого введем

load(draw); draw2d(color=blue, explicit(log(x)/x,x,0.2,2), color=red, explicit (taylor(log(x)/x,x,1,7),x,0.2,2)). В результате получим два графика:

Мы видим, что красный и синий графики сливаются в окрестности точки и удаляются друг от друга при удалении аргумента от значения 1. Это свидетельствует о том, что частные суммы рядов Тейлора приближают функцию только в окрестности точки .

Дата добавления: 2015-07-08