Читайте также:
|
П р и м е р 1. Рассмотрим функцию 
. В соответствии с формулой Тейлора
,
где 
.
Сосчитаем радиус сходимости степенного ряда.
.
Таким образом, этот ряд сходится во всех точках вещественной оси.
Для того, чтобы выяснить, будет ли сходиться ряд 
к функции 
, заметим, что при любом значении 
имеем 
при 
. Следовательно, 
при всех .
П р и м е р 2. Рассмотрим функцию 
. В соответствии с формулой
Тейлора
,
где 
. То есть, 
и 
при . Следовательно, 
при всех .
П р и м е р 3. Рассмотрим функцию 
В соответствии с формулой
Тейлора
,
где 
. То есть, 
и при . Следовательно, 
при всех .
П р и м е р 4. Рассмотрим функцию 
. В соответствии с формулой Тейлора при 
.
Найдем радиус сходимости этого степенного ряда: 
.
Для оценки остаточного члена при 
, больших или равных целой части 
,
форма Лагранжа остаточного члена годится также только для 
. В этом случае имеем оценку: 
. Очевидно, что при 
имеем при . Для отрицательных значений 
применяется другая форма остаточного члена. В результате для 
справедливо представление 
.
В случае, когда 
– натуральное число, производные функции 
порядка выше, чем 
, обращаются в 0. Следовательно, коэффициенты ряда при степенях выше – нулевые, и значит, от ряда останется только конечная сумма, содержащая 
слагаемое. Разложение это имеет вид
,
а полученная формула носит название «бином Ньютона».
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 154 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Тема 2. Термодинамічні цикли поршневих двигунів. | | | Примеры приложений рядов Тейлора |