Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тригонометрические ряды Фурье

Читайте также:
  1. Интервалында берілген функциясын Фурье қатарына жіктеңіз
  2. Тригонометрические функции
  3. Шарль Фурье (1772-1837гг.)

В различных отраслях науки, в том числе, в физике приходится иметь дело с периодическими явлениями. Простейший пример – электрические колебания. Периодической называется функция , для которой существует такая величина , называемая периодом, что . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции вида , где – целое число, называемые гармониками. Представление периодической функции в виде суммы гармоник называется гармоническим анализом. В случае, когда такая сумма бесконечна, мы получаем тригонометрический ряд, называемый рядом Фурье.

 

Итак, пусть непрерывная периодическая функция представлена в виде тригонометрического ряда: . Возникает вопрос: как найти коэффициенты ?

Воспользуемся тем, что гармоники обладают следующим свойством:

,

,

,

,

,

,

.

 

Теперь для того, чтобы, например, найти умножим обе части равенства

на и проинтегрируем на отрезке , предполагая, что ряд можно почленно интегрировать. С учетом свойств гармоник в правой части равенства останется только слагаемое , а в левой части – выражение . Отсюда мы получим . Умножая на и интегрируя, получим .

А для того, чтобы получить , нужно просто проинтегрировать обе части равенства на отрезке .

 

Таким образом, непрерывная периодическая функция представима в виде следующего тригонометрического ряда Фурье:

, где ,

 

Заметим, что в случае, когда – четная на отрезке функция, коэффициенты при синусах обратятся в ноль. Если нечетная на отрезке , исчезнут коэффициенты при косинусах и свободный член.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 193 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примеры приложений рядов Тейлора| ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)