Тригонометрические ряды Фурье

В различных отраслях науки, в том числе, в физике приходится иметь дело с периодическими явлениями. Простейший пример – электрические колебания. Периодической называется функция , для которой существует такая величина , называемая периодом, что . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции вида , где – целое число, называемые гармониками. Представление периодической функции в виде суммы гармоник называется гармоническим анализом. В случае, когда такая сумма бесконечна, мы получаем тригонометрический ряд, называемый рядом Фурье.

Итак, пусть непрерывная периодическая функция представлена в виде тригонометрического ряда: . Возникает вопрос: как найти коэффициенты ?

Воспользуемся тем, что гармоники обладают следующим свойством:

,

,

,

,

,

,

.

Теперь для того, чтобы, например, найти умножим обе части равенства

на и проинтегрируем на отрезке , предполагая, что ряд можно почленно интегрировать. С учетом свойств гармоник в правой части равенства останется только слагаемое , а в левой части – выражение . Отсюда мы получим . Умножая на и интегрируя, получим .

А для того, чтобы получить , нужно просто проинтегрировать обе части равенства на отрезке .

Таким образом, непрерывная периодическая функция представима в виде следующего тригонометрического ряда Фурье:

, где ,

Заметим, что в случае, когда – четная на отрезке функция, коэффициенты при синусах обратятся в ноль. Если нечетная на отрезке , исчезнут коэффициенты при косинусах и свободный член.

Дата добавления: 2015-07-08