Оптимальное выделение детерминированного сигнала на фоне шума по критерию максимума вероятности правильного воспроизведения.

Одна из основных характеристик канала передачи информации - достоверность воспроизведения полезного сигнала - определяется условиями работы канала и способами передачи и приема сообщений.

Пусть условия работы канала определяются характером действия помех, способ передачи обуславливается формой сигнала, а способ приема - реализацией критерия достоверности воспроизведения.

Критерием оптимальности выделения детерминированного сигнала при действии в канале независимого нормального белого шума малого уровня будет служить максимальное значение вероятности правильного воспроизведения полезного сигнала. Сформулируем постановку задачи.

Передача сообщений производится с помощью комбинаций детерминированных сигналов (например, с помощью импульсов электрического напряжения, составляющих двоичный код) имеющих одно и то же значение энергии на интервале времени :

, . (10.2.1)

Из-за действия помех в канале вместо сигналов принимаются реализации случайной функции

,

являющейся суммой полезного сигнала и белого шума со спектральной плотностью . Требуется найти такой способ выделения (приема) полезного сигнала, при котором вероятность того, что принятая реализация есть полезный сигнал , была бы максимальной.

Рассмотрим вероятностные характеристики белого шума. Ограниченный белый шум может быть охарактеризован - мерной функцией плотности вероятности вида

,

причем отдельные значения шума следуют через интервалы и являются некоррелированными. Если расширять полосу частот, занимаемую спектром ограниченного белого шума, интервалы будут уменьшаться, а дисперсия будет возрастать. При устремлении к нулю будет стремиться к бесконечности.

Для ограниченного белого шума можно выбрать корреляционную функцию произвольного вида (например, треугольной формы), лишь бы интервал корреляции не превышал значения . На основании общих свойств корреляционной функции ее значение при будет равно дисперсии . Площадь, ограниченная кривой , будет равна

.

Показатель степени записывается в виде

.

При устремлении к нулю это выражение даст интеграл

,

в котором будет спектральной плотностью белого шума. В самом деле, при дисперсия будет стремиться к бесконечности и в пределе корреляционная функция обратиться в дельта-функцию с площадью , которая, по определению, и является спектральной плотностью белого шума. Таким образом, значение при получается конечным.

Выражение является так называемым функционалом плотности вероятности белого шума.

. (10.2.2)

Этот функционал в строгом смысле не определен, однако то обстоятельство, что коэффициент не зависит от значений реализаций белого шума, позволяет определять отношение двух функционалов

, (10.2.3)

имеющее конечное значение. Это отношение показывает, насколько реализация более (или менее) вероятна, чем реализация . Так, если энергии всех реализаций белого шума одинаковы, эти реализации равновероятны, поскольку в этом интегралы от всех реализаций в формуле (10.2.2) будут одинаковыми.

При приеме реализации самое большее, что можно сделать, это получить для реализации условные вероятности того, что при данном конкретном ее значении был передан полезный сигнал и затем на основании этого принять решение. Поскольку полезный сигнал является детерминированным, смесь его с белым шумом будет также белым шумом. Отсюда следует, что для выявления более вероятной реализации при данном значении можно воспользоваться отношением (10.2.3) функционалов плотности вероятности белого шума. Не производя решения для общего случая m значений сигнала , рассмотрим построение оптимального приемника для выделения сигнала из белого шума двух значений сигнала: , .

Запишем значение условного функционала принимаемого сигнала для случая, когда передается значение полезного сигнала. . При этом реализация будет иметь вид

,

откуда

.

Подставляя это выражение в формулу (2.2), получим

Аналогично записывается для случая передачи сигнала . Подставляя полученные значения функционалов в формулу (10.2.3), будем иметь

, (10.2.4)

так как, согласно формуле (10.2.1),

. (10.2.5)

Таким образом, задача определения отношения сводится к определению значения показателя степени в формуле (10.2.4), т.е. фактически к вычислению величины

. (10.2.6)

Выше отмечалось, что величина показывает, насколько вероятнее появление той или иной реализации в случайном сигнале. Поэтому при принятии решения на основании значений возможны ошибки, причем они будут тем вероятнее, чем ближе значение к единице. Характер ошибок определяется условиями принятия решения, которое может быть принято относительно сигнала или , когда в канале действуют сигналы или .

Учитывая, что по условию белый шум является нормальным, вероятность ошибки 1 можно определить следующим образом:

.

Это выражение определяет вероятность события, при котором значение будет больше нуля при наличии в канале сигнала .

.

Здесь число есть математическое ожидание случайной величины .

Вычислим значение для случая ошибки 1.Реализация будет

. (10.2.7)

Применяя формулу (10.2.6) и производя операцию определения математического ожидания, получим:

,

так как

.

Вводя обозначение

(10.2.8)

и учитывая формулу (10.2.5), будем иметь

.

Найдем значение дисперсии . Имеем

.

На основании соотношений (10.2.6) и (10.2.7) получим

,

или с учетом формул (10.2.5) и (10.2.8),

.

В ходе дальнейших выражений и подстановок окончательно будем иметь:

.

Итак, предельное значение величины зависит от числа сигналов m и с его ростом, как и следовало, ожидать, уменьшится. При наличии двух сигналов и предельное значение будет равно . Если полагать ошибки воспроизведения малыми, можно приближенно считать их независимыми. Тогда для случая детерминированных сигналов одинаковых энергий можно записать выражение для вероятности ошибки воспроизведения любого из m сигналов при их оптимальном построении в виде

.

Контрольные вопросы

1.Что понимают под термином «помехоустойчивость»? Критерии помехо-устойчивости.

2.Частотная модуляция. Ее отличие от фазовой модуляции.

3.Характеристики канала передачи информации.

4.Что такое белый шум? Каковы его характеристики?

5.Как выглядит величина, показывающая, насколько вероятнее появление той или иной реализации в случайном сигнале?

Дата добавления: 2015-07-08