Диаметры окружностей зубчатых колес. 3 страница

Толщина упрочненного слоя составляет (0,13–0,2) m, но не более 1,2 мм. Искажения зубьев существенно меньше, чем при цементации, не требуются дополнительные доводочные операции.

2.5. Допускаемые напряжения при действии переменных нагрузок

Основой для расчета допускаемых напряжений при действии переменных нагрузок является кривая усталости (кривая Велера). Она устанавливает связь между максимальным напряжением, при котором испытывается образец, и числом циклов нагружения N до разрушения образца. В общем случае для стальных образцов эта кривая состоит из наклонного криволинейного и горизонтального (или близкого к горизонтальному) линейного участка (рис. 2.7). Число циклов нагружения, соответствующее началу горизонтального участка, называют базовым числом циклов и обозначают в зависимости от вида напряжений N_H0 при действии контактных напряжений и N_F0 при действии напряжений изгиба.

2.5.1. Допускаемые контактные напряжения

Максимальное напряжение, которое образец выдерживает практически неограниченное число циклов, называется пределом контактной выносливости и обозначается σ _{H lim}. Наклонный участок кривой усталости аппроксимируется зависимостью

σ N_HE = const, (2.8)

где σ _H – заданный уровень напряжения; N_HE – эквивалентное число циклов нагружения; q – показатель степени кривой усталости.

Экспериментально установлено, что при действии контактных напряжений q = 6. Из зависимости (2.8) следует равенство

σ N_HE = σ N_H0.

Рис. 2.7. Кривая усталости

Отсюда предельное напряжение при заданном эквивалентном числе циклов

σ _H = σ _{H lim} K_HL,

где K_HL = – коэффициент долговечности.

Если N_HE > N_H0, то K_HL = 1. Если K_HL > K_{HL max}, то следует принять K_HL = K_{HL max}. Значения K_{HL max} зависит от способа термообработки: для нормализации и улучшения принимают K_{HL max}= 2.6, для остальных способов ТО – K_{HL max}= 1.8.

Для определения допускаемого контактного напряжения разделим предельное напряжение на коэффициент безопасности S_H и учтем влияние на предельное напряжение шероховатости сопряженных поверхностей зубьев R_a и окружной скорости в зацеплении V коэффициентами Z_R и Z_V:

σ _HP = K_HL Z_R Z_V (2.9)

Коэффициент безопасности S_H = 1.1 для зубчатых колес с однородной структурой; S_H = 1.2 для колес с поверхностным упрочнением.

Предел контактной выносливости зависит от способа термической или химико-термической обработки и твердости поверхности зуба. Формулы для определения s _{H lim} и значения S_H приводятся в учебных пособиях в виде таблиц. Так для улучшения и нормализации s _{H lim} = 2НВ+70, S_H = 1.1. Здесь под НВ понимают среднее значение твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса. Коэффициент Z_R = 1 для R_a 0,63–1,25 и Z_R = 0,95 для R_a 1,25–2,5.

Повышение окружной скорости в зацеплении улучшает условия смазки и уменьшает силы трения. При Н ≤ 350НВ принимают Z_V = 0,85 V ^0,1. Полученный коэффициент должен удовлетворять условию Z_V ≥ 1. На этапе проектного расчета с учетом того, что коэффициенты Z_R и Z_V незначительно отличаются от 1, допустимо принимать Z_R Z_V ≈ 1.

Базовое число циклов контактных напряжений также зависит от твердости рабочих поверхностей зубьев

N_HO = 30HB^2.4 120·10⁶.

Эквивалентным называют такое число циклов напряжений, при котором постоянная по величине максимальная нагрузка создает такой же усталостный эффект, как и фактически действующая нагрузка. Рассмотрим определение N_HE при заданной ступенчатой циклограмме нагружения (рис. 2.8).

Пусть на каждой ступени нагружения шестерня передает крутящий момент T_i при числе циклов нагружения N_i. Примем, что максимальная нагрузка T ₁ действует на первой ступени нагружения. Обозначим число циклов нагружения до разрушения на каждой ступени циклограммы нагружения N_{i р}. Повреждение детали на каждой ступени нагружения приближенно оценивают отношением П _i = . Экспериментально установлено, что повреждения, полученные на разных ступенях нагружения, могут линейно суммироваться. Отсюда накопленное повреждение равно

П = , (2.10)

где k – число ступеней диаграммы нагружения.

Рис. 2.8. Циклограмма нагружения шестерни

На основании уравнения (2.10), принимая во внимание, что N _{1 p} = N_HE, запишем

σ N_HE = σ N_ip. (2.11)

Учитывая зависимость между контактным напряжением и нагрузкой, вытекающую из формулы Герца σ _Hi = λ , выразим N_ip из (2.13):

N_ip = N_HE (T ₁/ T_i)³.

Подставим N_ip в (2.10), примем, что при разрушении П = 1, тогда после преобразований получим формулу для определения эквивалентного числа циклов нагружения

N_HE = μ _hN _Σ,

где μ _h = – коэффициент эквивалентности; N _Σ – суммарное число циклов нагружения за весь срок службы передачи;

N _Σ = 60 c ,

здесь n_i и t_i – частота вращения и время работы, соответствующие i -ой ступени нагружения; с – число зацеплений за один оборот зубчатого колеса.

При постоянной частоте вращения n:

N _S= 60 n c t_h,

где t_h – суммарное время работы передачи в часах,

t_h = 365 L 24 K _г K _с ПВ.

Рис. 2.9. Типовые режимы нагружения:

0 – постоянный, 1 – тяжелый, 2 – средний равновероятный,

3 – средний нормальный, 4 – легкий, 5 – особо легкий

Здесь K _г – коэффициент использования передачи в течение года;

K _с – коэффициент использования передачи в течение суток;

L – срок службы передачи в годах;

ПВ – относительная продолжительность включения.

Если перестроить циклограмму нагружения в относительных единицах _, в порядке убывания моментов T_i и заменить ее плавной кривой, то режим нагружения, соответствующий полученной циклограмме, можно отнести к одному из рекомендованных ГОСТ 21354-87 типовых режимов (рис. 2.9). В этом случае коэффициенты эквивалентности выбираются в зависимости от типового режима.

Расчет допускаемых контактных напряжений для зубьев шестерни и колеса s _{HP 1} и s _{HP 2} выполняется по формуле (2.9). Допускаемые контактные напряжения передачи равны:

s _HP = s _{HP min} – для прямозубой передачи;

s _HP = 0.45(s _{HP 1}+s _{HP 2}) 1.25s _{HP min} – для косозубой и шевронной передач.

Здесь s _{HР min} – наименьшее из напряжений s _{HP 1} и s _{HP 2}.

2.5.2. Допускаемые напряжения изгиба

При расчете зубьев на выносливость по напряжениям изгиба допускаемые напряжения изгиба определяют по такой же методике, как и допускаемые контактные напряжения. Наклонный участок кривой усталости аппроксимируется зависимостью

σ N_FE = const,

где σ _F – заданный уровень напряжения; N_FE – эквивалентное число циклов нагружения при изгибе; q – показатель степени кривой усталости (q = 6 для таких видов термообработки как нормализация и улучшение, q = 9 для закалки и цементации).

При расчете допускаемых напряжений изгиба используют формулу:

s _FP = ,

где s _{F lim} – предел изгибной выносливости зубьев;

S_F – коэффициент безопасности (S_F = 1.7 для всех видов ТО кроме цементации, в случае цементации S_F = 1.65);

K_FС – коэффициент, учитывающий влияние двухстороннего приложения нагрузки;

K_FL - коэффициент долговечности,

K_FL = 1.

Здесь N_FO = 4·10⁶ – базовое число циклов при изгибе.

Должно выполняться условие K_FL K_{FL max}. В случае нормализации и улучшения s _{F lim} = 1.75HB, K_{FL ma x} = 4 и K_FС = 0.65 для реверсивного привода. Для нереверсивного привода K_FС = 1.

Эквивалентное число циклов напряжений при изгибе

N_FE =μ _F N _Σ,

где μ _F – коэффициент эквивалентности при изгибе.

Для типовых режимов нагружения μ _F определяется по таблицам в зависимости от режима нагружения.

ЛЕКЦИЯ 4. Прочностные расчеты цилиндрических зубчатых передач

2.6. Расчет на выносливость по контактным напряжениям

Контактная прочность зубьев является основным критерием работоспособности закрытых и хорошо смазываемых зубчатых передач. Для расчета зубьев по контактным напряжениям используется разработанная Герцем теория статически сжатых цилиндров. Расчетная схема контакта двух цилиндров, имеющих радиусы ρ₁ и ρ₂, показана на рис. 2.10. Первоначальный контакт цилиндров осуществляется по линии. При сжатии цилиндров нагрузкой F_n, равномерно распределенной вдоль образующих, за счет упругой деформации линия контакта заменяется площадкой, по которой распределены контактные напряжения. Наибольшее значение контактных напряжений определяется по формуле Герца, которая для стальных цилиндров имеет вид

σ _H = , (2.12)

где ν – коэффициент Пуассона;

b – длина контактных линий;

E _пр – приведенный модуль упругости; E _пр = ;

E ₁ и E ₂ – модули упругости материалов цилиндров;

ρ_пр – приведенный радиус кривизны цилиндров; ρ_пр = ;

ρ₁ и ρ₂ – радиусы цилиндров;

знак “+” – для внешнего касания цилиндров, “–“ – для внутреннего касания.

Экспериментально установлено, что разрушение зубьев при действии контактных напряжений начинается вблизи от полюса. Радиусы цилиндров в формуле Герца заменяют мгновенными радиусами кривизны эвольвентных профилей зубьев при их контакте в полюсе (рис. 2.10):

ρ₁ = r_{w 1} sin α _w, ρ₂ = r_{w 2} sin α _w.

Рис. 2.10. Схема сжатия цилиндров в задаче Герца

Отсюда выразим приведенный радиус кривизны с учетом зависимости u = r_{w 2}/ r_{w 1}:

ρ_пр = .

Силу F_n, нормальную к профилям, определяют через окружную силу с учетом коэффициента контактной нагрузки K_H:

F_n = .

Рис. 2.11. Схема к расчету контактной прочности зубьев

Коэффициент K_H вводится для учета дополнительных нагрузок, связанных с условиями нагружения, точностью изготовления зубьев, жесткостью валов, опор и др.

Суммарную длину контактных линий при зацеплении обозначают l _Σ. В зоне однопарного зацепления l _Σ = b_w; в зоне двухпарного зацепления l _Σ = 2 b_w, где b_w – рабочая ширина зубчатого венца.

Экспериментально установлено, что для прямозубых передач эквивалентная с точки зрения контактной прочности суммарная длина контактных линий выражается через коэффициент торцевого перекрытия по формуле

l _Σ = 3 b_w /(4 – ε_α).

Подставим полученные зависимости в формулу Герца, принимая b = l _Σ, и преобразуем ее к виду

σ _H = Z_EZ_HZ _ε , (2.13)

где Z_E = – коэффициент, учитывающий механические свойства материалов зубчатых колес; для стальных колес E _пр = E ₁ = E ₂ = 2,1∙10⁵ МПа, ν = 0,3, Z_E = 190 ;

Z_H = – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе зацепления; при α _w = 20° имеем Z_H = 2,5;

Z _ε = – коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий; принимая ε_α = 1,6 получим Z _ε = 0,9.

Выразим окружную силу через крутящий момент на шестерне F_t= , диаметр делительной окружности шестерни для нулевой передачи через межосевое расстояние d ₁ = d_{w 1} = . Подставим эти зависимости в выражение (2.13), заменим b_w на ширину зубчатого венца колеса – b_{w 2} и запишем формулу для проверочного расчета цилиндрической прямозубой передачи на выносливость по контактным напряжениям:

σ _H = σ _HP, (2.14)

где Z _σ = Z_E Z_H Z _ε .

Подставляя в Z _σ усредненные значения Z_E =190 , Z_H= 2,5 и Z _ε=0,9, получим Z _σ = 9600 .

Выразим b_{w 2} через межосевое расстояние b_{w 2} = ψ _ba a_w, подставим b_{w 2} в неравенство (2.14) и решая его относительно a_w, запишем формулу для проектного расчета цилиндрической прямозубой передачи на выносливость по контактным напряжениям

a_w ≥ K_a (u 1) , (2.15)

где K_a = = 450 .

На этапе проектного расчета рекомендуется принимать коэффициент контактной нагрузки K_H = 1,2, а коэффициент ширины венца колеса ψ _ba выбирать из стандартного ряда: 0.16; 0.25; 0.315; 0.4; 0.5; 0.63; 0.8; 1.0 по ГОСТ 2185-66 в зависимости от расположения шестерни относительно опор:

при симметричном расположении ψ _ba = 0,315…0,5;

при несимметричном ψ _ba = 0,25–0,4;

при консольном ψ _ba = 0,2–0,25;

для шевронных и раздвоенных косозубых передач ψ _ba = 0,4–0,63.

Полученное значение a_w округляют до ближайшей большей стандартной величины по ГОСТ 2185-66.

К оэффициент контактной нагрузки определяют по формуле

K_Н = K_{Н α} K_{Н β} K_НV,

где K_{Н α} – коэффициент неравномерности распределения нагрузки между зубьями; K_{Н β} – коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине колеса; K_НV – динамический коэффициент.

а б

Рис. 2.12. Перекос колес при деформации валов

Для зубчатых колес, имеющих степень точности по нормам плавности n _ст=6…8, принимают

K_{Н α} = 1 + А (n _ст – 5) K_w,

где А = 0,06 для прямозубых передач; А = 0,15 для косозубых и шевронных передач; K_w – коэффициент, учитывающий приработку зубьев.

Неравномерное распределение нагрузки по ширине зубчатого венца определяется перекосом сопряженных зубьев за счет деформации валов, опор и зубчатых венцов. Указанная деформация зависит от схемы расположения передачи относительно опор и ширины зубчатого венца.

При симметричном расположении колес относительно опор прогиб валов не вызовет перекоса зубчатых колес. В случае несимметричного расположения колес (рис. 2.12, б) они перекашиваются на угол γ. Это приводит к неравномерности распределения контактной нагрузки по ширине зубчатого венца.

Если бы зубья были абсолютно жесткими, то они соприкасались бы в одной точке (рис. 2.13, а). Поскольку зубья деформируются, то они соприкасаются по всей длине (рис. 2.13, б) и нагрузка q распределяется по контактной поверхности зубьев пропорционально деформациям (рис. 2.13, в). Отношение максимальной контактной нагрузки к средней равно K_{H β} = .

Для учета приработки зубьев рассматривают два значения коэффициента неравномерности распределения нагрузки: в начальный период K и после приработки K_{H β}. Они связаны между собой соотношением

K_{H β} =1+ (K - 1) K_w.

а б в

Рис. 2.13. Влияние перекоса колес на контактные напряжения

Значения K находят в зависимости от схемы расположения зубчатых колес передачи относительно опор валов и от коэффициента ширины венца по диаметру , величина которого определяется выражением:

= 0.5 (u 1).

Способность зубьев к приработке понижается с ростом твердости поверхности зубьев и с увеличением окружной скорости в зацеплении. Последнее объясняется тем, что с увеличением скорости улучшаются условия смазки. Для плохо прирабатывающихся зубчатых колес с твердостью поверхности зуба НВ ₂ > 350 принимают K_w = 1. Если НВ ₂ 350, то K_w определяют по эмпирической формуле

K_w = 0.002 НВ ₂ + 0.036(V - 9),

где V – окружная скорость в зацеплении, м/с.

Динамический коэффициент K_НV позволяет учесть внутреннюю динамическую нагрузку зубчатой передачи, связанную с ударами зубьев на входе в зацепление из-за ошибок шага по основной окружности. Сила удара зависит от величины ошибки шага, регламентированной степенью кинематической точности, от жесткости зубьев и от окружной скорости в зацеплении. Для определения K_НV используются табличные данные.

Допускается перегрузка по контактным напряжениям не более 5 %, рекомендуемая недогрузка до 15 %. Если указанные условия не выполняются, то следует, либо изменить межосевое расстояние передачи, либо изменить , либо выбрать другие материалы зубчатых колес и повторить расчет. Расчет недогрузки по контактным напряжениям выполняют по формуле:

= 100 .

2.7. Расчет на выносливость по напряжениям изгиба

При входе зуба в зацепление к его вершине приложена нормальная к профилю зуба сила F_n (рис. 2.14). Зуб рассматривают как консольную балку.

Рис. 2.14. Схема нагружения зубьев при изгибе

Силой трения ввиду ее малости пренебрегают. Силу F_n переносят по линии ее действия и прикладывают к оси зуба, раскладывая на две составляющие: горизонтальную F_г = F_n cos γ и вертикальную F_в = F_n sin γ. Угол γ несколько больше угла зацепления α _w, так как при расположении вершины зуба на линии зацепления ось зуба не совпадает с линией центров O ₁ O ₂ (рис. 2.14). Напряжения изгиба и сжатия в опасном сечении n-n от действия этих сил равны

σ_и = , σ_сж = , (2.16)

где L – расстояние от точки приложения силы до опасного сечения;

h – высота опасного сечения;

W_x = – осевой момент сопротивления опасного сечения.

Экспериментально установлено, что образование трещин усталости начинается на стороне растяжения, что связано как со знаком напряжений, так и с концентрацией напряжений на переходной поверхности зуба. Расчетное напряжение с учетом коэффициента концентрации напряжений k _σ определяют по формуле

σ _F = (σ_и – σ_сж) k _σ, (2.17)

Выразим L и h в долях модуля: L = α₁ m, h = α₂ m, а силу F_n – через окружную силу в зацеплении F_n = , где K_F – коэффициент нагрузки при изгибе. После подстановки напряжений σ_и и σ_сж из формул (2.16) в выражение (2.17) получим

σ _F = , (2.18)

где Y_F = – коэффициент формы зуба.

Коэффициент формы зуба зависит от эквивалентного числа зубьев z_ν и коэффициента смещения x. В прямозубых передачах эквивалентное и фактическое число зубьевсовпадают z_ν = z. С ростом числа зубьев (рис. 2.15) и коэффициента смещения x толщина зуба у основания увеличивается, что приводит к повышению его изгибной прочности и уменьшению коэффициента формы зуба. Расчетные значения Y_F, полученные методами теории упругости, приведены в таблицах ГОСТ 21354. Для их аппроксимации рекомендуется следующее выражение:

Y_F = 3.47 + + 0.092 x ².

Дата добавления: 2015-07-07