Линеаризующие преобразования

В случае неадекватности линейного уравнения регрессии можно построить уравнение нелинейной регрессии, например, полиномиальной регрессии второй или третьей степени. При этом аналогично изложенному ранее, методом наименьших квадратов можно найти коэффициенты для квадратичной и кубической регрессий –

; . (9)

В некоторых случаях можно значительно упростить процедуру построения нелинейной модели, применив линеаризацию по параметрам или по переменным модели.

Например, установлено, что в задаче слежения за целями уровень возбуждения объектов и их производительность связаны следующей квадратичной зависимостью:

.

Эта модель не линейна по переменным, но линейна по параметрам. Если сделать замену

х ₁ = возбуждение; х ₂ = возбуждение² _,

то получим линейное уравнение – y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂.

Известно, что скорость роста человека с увеличением возраста изменяется по следующему экспоненциальному закону:

скорость роста = exp(-b₁*возраст). (10)

Эта модель не линейна и по переменным и по параметрам, но допускает линеаризацию. Прологарифмируем это уравнение и сделаем замену ln(cкорость роста) = y, возраст = х, получим линейное уравнение у = - b ₁ х.

В таблице приведены примеры нелинейных зависимостей и соответствующие им линеаризующие преобразования [6].

Функция	Линеаризующие преобразования
y ’	x ’	b ’0	b ’1
	y	1/x	b 0	b 1
	1/y	х	b 0	b 1
	x/y	х	b 0	b 1
	lny	x	lnb 0	lnb 1
	1/ у	ехр (- х)	b 0	b 1
	lny	lnх	lnb 0	b 1
	у	ln (х +1)	b 0	b 1
	1/у	1/ x	b 1/ b 0	1/ b 0

Дата добавления: 2015-07-08