Список научных работ П.С. Порецкого [4].

Определение географической широты Астрономической башни Харьковского университета. Харьков, 1873. – 57 С.

Изложение основных начал математической логики в возможно более наглядной и общедоступной форме. Сообщение, читанное в 3 заседании секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете//Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т.1, 1881. - С. 2-31.

О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 2, 1884 XXIV, 170 С. (отдельный оттиск).

а) К вопросу о решении некоторых нормальных систем, встречающихся в сферической астрономии, с применением к определению погрешностей деления меридианного круга Казанской обсерватории (4 сообщения, сделанные в 1885 году). Казань, 1886. – 144 С. (отдельный оттиск).

б) О связи между днями года и днями недели. Казань // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 4, 1886. - 12 С. (отдельный оттиск).

а) Исторический очерк развития сферической тригонометрии // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук Казанского общества естествоиспытателей. Казань, Т.5, 1887. – 16 С. (отдельный оттиск).

б) Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики// Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 5, 1887. – С. 83 – 116. Переведена на немецкий язык.

в) Вычисление оппозиции Марса // Astron. Nachrichten, 1887.

г) Четыре наблюдения 1) Mars opposition, 1877 2) Mars opposition, 1879 3) Mars opposition, 1886 4) Beobachtungen der Cometen, 1881 // Astron. Nachrichten, 1887.

а) Определение географической широты Астрономической башни Харьковского университета //Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук Казанского общества естествоиспытателей. Казань, Т.6, 1888. – 58 С. (отдельный оттиск).

б) К учению о простых числах // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 6, 1888. – III, 89 С. (отдельный оттиск).

в) По поводу сообщения П.В. Преображенского «Особого вида тригонометрические ряды». Доклад в 76 заседании секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 7, 1888. -- С. 330 - 334.

г) По поводу сочинения г-на Цераского «Астронометрическая фотометрия» //Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 7, 1888. -- С. 334 - 339.

д) По поводу брошюры г-на Волкова «Логическое исчисление». Сообщение,читанное 12 ноября в 81 заседании секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете // Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань, Т. 7, 1888. – 9 С. (отдельный оттиск).

а) Закон корней в логике // Научное обозрение. 1896, № 19, -- С. 538 - 593.

б) Новая наука и академик Имшенецкий (с приложением трех писем Имшенецкого) Северный вестник, декабрь, 1896. -- С. 103 - 112.

Sept lois fondamentales de la theorie de egalites logiques // Известия Физико-

математического общества при императорском Казанском университете. Вторая серия, 1899. - C. 33 – 103, 129 – 181, 183 - 216; Имеется отдельное издание: Sept lois fondamentales de la theorie de egalites logiques. Казань, Типо-литография имп. ун-та, 1899. -157 С.

Expose elementaire de la theorie des egalites logiques a deux termes a et b// Revue de Metaphysique et de Morale. 1900, T. 8.

1901-1902

а) Quelques lois ulteuieures de la theorie des egalites logiques // Известия Физико-математического общества при императорском Казанском университете. Вторая серия, Т. 1900. № 1. - С.50-84; № 2. - С. 132-180; № 3. - С. 191 – 230; Т. 11. 1901. № 2. С. 17 – 63;Имеется отдельное издание: Quelques lois ulteuieures de la theorie des egalites logiques.Казань, Типо-литография имп. ун-та, 1902. - V, 163 С.

б) Из области математической логики// Физико-математический ежегодник,посвященный вопросам математики, физики, химии и астрономии в элементарном изложении. Год второй. М.: Изд-во кружка авторов "Сборники в помощь самообразованию", 1902, № 2. – 482 С.

а) Theorie des non-egalites logiques // Известия Физико-математического общества при императорском Казанском университете. Вторая серия. Казань, Т. 13, № 3. - С. 80 –119; № 4. - С. 127 – 184; Имеется отдельное издание: Theorie des non-egalites logiques.Казань, Типо-литография имп. ун-та, 1904. -- III, 112 С.

Сочинения П.С. Порецкого [Порецкий, 1899, 1902а, 1904а] имеют общую

нумерацию глав.

б) Appendice. Sur mon nouvel travail “Theorie des non-egalites logiques” // Известия Физико-математического общества при императорском Казанском университете. Вторая серия, Т. 14, № 2, 1904. -- С. 118 - 131.

1908-1909

Theorie conjointe des egalites et des non-egalites logiques // Известия Физико-

математического общества при императорском Казанском университете. Вторая серия, Т.1908. № 1-2, -- С. 9 – 41; Имеется отдельное издание: Theorie conjointe des egalites et non-egalites logiques. Казань, Типо-литография имп. ун-та, 1909. - III, 109 С.

Литература

1.Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. - М:1967.

2.Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики.// Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете, т. 2, Каз., 1884.

3.Лобанов В.И. Русская вероятностная логика. – М.: «Русская Правда», 2009 – 320с.

4. В.А. Бажанов. Жизнь и научная деятельность пионера исследований в

области математической логики в России П.С. Порецкого// Вопросы истории естествознания и техники, 2005, № 4, с. 64-73.

{

[1] Буль обрабатывает по методу матем. Логики, кроме теории умозаключений, ещё след. теории: 1) теорию вероятностей, 2) теорию статистических отношений и 3) теорию отношений причин к следствиям. — Джевонс утверждает (см. «Основы науки», стр. 168), что «логический алфавит (т.е. основная формула математ. логики) дает нам возможность произвести полный анализ всякой численной задачи» и отсылает читателя к особой своей статье, где он будто бы вполне это доказывает. – Шредер также полагает, что теория умозаключений составляет только второстепенное (untergeordnete) применение начал математ. логики, не указывая впрочем никаких других её применений. – Со своей стороны, мы, уделив часть своего досуга изучению математ. логики, сосредоточили все свое внимание на разработке теории умозаключений, остальные же вопросы, осуждаемые Булем и Джевонсом, оставили без изучения. Таким образом, мы не имеем возможности высказывать своего мнения, которое ещё не определилось, относительно объема предмета матмат. логики и предпочитаем оставить этот вопрос совершенно открытым.

[2] Вопрос этот не затрагивался ни одним из авторов по математической логике. А потому все настоящее предисловие следует рассматривать, как наш собственный личный взгляд на этот предмет.

[3] Отныне, для краткости, мы будем называть качественные формы классами.

[4] Мысль об обратности этих двух логических операций принадлежит лично мне. Буль употреблял операцию вычитания; Шредер рассматривает в логике не только вычитание, но и деление; Джевонс не высказывался касательно отношения между умножением и умножением в логике.

[5] Здесь, мы считаем нужным заметить, что в предстоящем изложении оснований теории логических равенств по необходимости окажется некоторое повторение того, что мы излагаем во Введении. Но там мы преследуем одну цель (догматическое наложение основ математической логики) здесь же совершенно другую (оценка оснований метода математической логики).

[6] Здесь мы находим уместным сказать несколько слов об операциях вычитания и деления. Нет сомнения, что эти операции могут быть перенесены в логику. Но во 1-ых, как мы доказали, в логике сложение и умножение взаимно обратны, т.е. нет оснований вводить в рассмотрение операции вычитания и деления; а во 2-ых, операции вычитания и деления, перенесенные в логику, должны быть подвергнуты существенным ограничениям, потому что в логике вычитание равных из равных и деление равных из равных вообще не приводит к равным. В самом деле, из логически верного равенства a+ab=a мы получаем, по вычитании из обеих частей класса a, равенство: ab=0, которое вообще (за исключением единственного случая, когда a=ab₁, или, что тоже, когда b=ba₁) должно быть призвано совершенно нелепым, т.е. отнюдь не представляющим следствия равенства я a+ab=a. Точно также, деление обеих частей верного равенства a(a+b)=a на класс a доставляет равенство a+b=1, отнюдь не вытекающее из равенства a(a+b)=a, т.е. вообще нелепое (за исключением единственного случая, когда a₁=a₁b, или, что тоже, b₁=b₁a).

[7] Несколько подробнее, чем здесь, хотя и в не столь общей форме, основания математической логики были изложены мною в 3-м заседании секции 17-го мая 1880 г. (См. протокол этого заседания).

[8] Мир речи, понятно, вполне относителен. Напр., смотря по смыслу речи, при суждениях над живыми существами миром речи может быть: 1) все живое; 2) известная его часть, напр. люди; 3) известная часть людей, напр. англичане, и пр. и пр.

[9] Понятно, что, для каждого данного a, его отрицание a₁ может быть различно, смотря по миру речи. Так, если a есть класс артистов, то a₁ обозначает анлгичан-не-артистов, когда 1, т.е. мир речи, есть англичане; и тоже a₁ будет означать людей-не-артистов, если 1 есть люди и пр. и пр.

[10] Для доказательства, достаточно допустить в упомянутых формулах сначала m=a+b, m₁=a₁b₁, а потом m=ab, m₁=a₁+b₁, и составить m+m₁????????mm₁, для которых и получится соответственно 1 и 0, что и нужно доказать.

[11] Таким образом функцией a мы будем называть всякое выражение, куда входят или a, или a₁, или обе за раз.

[12] Для доказательства, достаточно в предлагаемой формуле f(a)=am+a₁n положить сначала a=f и след. a₁=0, а потом a=0 и след. a₁=1; для определения m и n получим соответственно: m=f(1),n=f(0).

[13] Для доказательства достаточно назвать данное разложение через m, его отрицание, построенное по правилу Шредера, через m₁, и составить сумму m+m₁ и произведение mm₁; для них получится всегда соответственно 1 и 0, что и нужно доказать.

[14] Предлагаемая здесь попытка общего взгляда на учение о логических равенствах принадлежит лично мне и выработана соответственно с теми результатами, которых удалось мне достигнуть.

[15] Для доказательства, достаточно обнаружить, что два равенства A=B и 0=AB₁+A₁B суть следствия друг друга. Во 1-х, если A=B, то A₁B=0, AB₁=0 и след. AB₁+A₁B=0. Во 2-х, так как в логике сумма может быть=0 только тогда, когда каждое слагаемое порознь=0, то равенство 0=AB₁+A₁B распадается на 2 равенства: 0=AB₁ и 0=A₁B из которых 1-е показывает, что A, которое должно содержаться в 1, а след. и в B+B₁, не содержится в B₁, т.е. содержится в В, а второе, что наоборот, В содержится в А. Совокупность же этих двух равенств убеждает нас, что A=B.

[16] Доказательство этих формул мы увидим ниже, при изложении способа Шредера для решения логических равенств. (См. часть I, §4 настоящей статьи).

[17] Что всегда возможно, ибо все логические равенства суть 1-ой степени.

[18] К сожалению, о брошюре Шредера Джевонс умалчивает, точно также как и обратно, Шредер не упоминает о труде Джевонса.

[19] Доказательство этой истины уже приведено во Введении.

[20] Вот доказательство этой теоремы, направленное к показанию: 1) что формулы (B) вытекают из формулы (A) и 2) что формула (A) вытекает из формул (B). Во 1-ых, из (A) следует, что ax=0, т.е. a содержится в x₁, или a=v₁, где v неопределенный класс. Отрицание этого равенства есть a₁=v₁+x; умножив последнее равенство на y, и замечая, что, в силу (A), a₁y=0, получим: 0=yv₁+xy, или 2 равенства: 0=xy, 0=yv₁. Здесь 1-е равенство есть 1-е из равенств (B). Второе равенство 0=yv₁ показывает, что v₁ содержится в y₁, т.е. v₁=u₁y₁ и след. v=u+y. Равенство a=vz₁ принимает вид: a=(u+y)x₁, т.е. 2-е равенство(B). Во 2-х, если a=x₁[u+y], xy=0, то a₁=x+u₁y₁, а след. ax=0, a₁y=xy=0, так что ax+a₁y=0, т.е. формула (A).

[21] В предыдущее теореме Шредера 0=xy, есть результат исключения a из равенства 0=ax+a₁x. В общем случае, то есть для равенства 0=N(a,b,c,…), результат исключения a, очевидно, будет: 0=xy=N(1,b,c,…) N(0,b,c,…). Вот то доказательство булевского правила исключения классов, на которое мы ссылаемся в нашем введении. Исключая b из результата исключения a, мы получим результат исключения двух классов из первоначального равенства и т.д.

[22] Считаю долгом заметить, что я не сразу понял указанную ошибку Шредера и в своем первом сообщении (см. протокол 3-го заседания секции) безразлично называл u то произвольным, то неопределенным классом. Но во всяком случае, приводя формулу Шредера, я воздержался ещё и тогда от воспроизведения указанного выше чисто фантастического ее толкования.

[23] Это есть известная задача Венна. См. о ней в сочинении Джевонса «Основы науки»; впрочем ниже мы возвратимся к этой задаче.

[24] Сообразно с логическим значением формул a=aM(1) и a=a+M₁(0), их с удобством можно было бы представить в виде пары неравенств

a<M(1), a>M₁(0).

Однако мы предпочитаем остаться при прежних обозначениях. Ещё одно существенное замечание: в логике слово содержится имеет совсем не то значение, что в математике. А именно, если p содержится в q, то в математике это значит, что число p есть один из множителей числа q; наоборот, в логике это значит, что класс p есть одно из слагаемых (подклассов) класса q.

[25] Считаем долгом прибавить, что хотя пара формул a=aM(1), a₁=a₁M(0) построена нами совершенно самостоятельно, на основании тех теоретических соображений, которые изложены в предыдущем §, однако легко убедиться, что обе эти формулы были известны и Шрудеру. В самом деле, (см. § 4 нашей статьи) при доказательстве основной своей теоремы, по которой равенство 0=ax+a₁y тождественно с парой равенств: 0=xy, а=х₁(и+y), Шредер имел равенства 0=ax, 0=а,y и, решая их относительно а и а₁ получал а=vх₁, а₁=и₁y₁ т..е. в сущности те же равенства a=aM(1) b a₁=a1M(0). Однако, во 1-х, эти равенства Шредера обременены присутствием определенных символов v и и, второй из которых автор считает даже производным, а во 2-х, (и это главное), у Шредера эти равенства суть только промежуточные на пути к определению а, а у нас они суть окончательные, и объяснение логического их значения, в качестве различных и существенных частей полного определения, принадлежит лично нам.

[26] Вот другое доказательство той же истины. В единичной форме обе упомянутой формулы суть: 1=a₁+M(1), 1=a+M(0), откуда по перемножении получаем:

1=aM(1)+a₁M(0)+M(0)M(1)=aM(1)+a₁M(0)+(a+a₁)M(0)M(1)=a[M(1)+M(0)M(1)]+

+a₁[M(0)+M(0)M(1)]=aM91)+a₁M(0)=M,

т.е. логическая единица системы этой пары формул есть логическая единица задачи.

[27] Необходимо отличать логическое содержание одного класса в другом от тождественного содержания. Тождественное содержится только подкласс в классе (напр. pq в p или в q). С другой стороны подкласс (pq) не может содержаться в отрицании своего класса, равносильно допущению этого подкласса логическим нулем. На этом основании, коль скоро u логически должно содержаться в v, то все подклассы 1-й функции, встречаемые между подклассами отрицания 2-ой, надо считать логическими нулями.

[28] Интересно, что в этом случае сложение формул a=aM(1), 0=a₁M₁(0) дает одну формулу, вполне с ними тождественную: a=aM(1)+a₁M₁(0).

[29] Это следует из того, что полный логический нуль задачи есть 0=M₁=aM₁(1)+a₁M₁(0).

[30] В изложенном доказательстве есть допущение, которое может показаться произвольным, а именно, что тождественное равенство вида Aa+Ba₁=Ca+Da₁ равносильно паре равенств: A=C, B=D. Однако, допущение это есть прямое следствие теоремы Буля, по которой всякая функция f(a) может быть разложена относительно a только одним образом, а именно по формуле f(a)=af(1)+a₁f(0).

[31] Другое средство заключается в разложении pa+r=θ(a) по формуле Буля: θ(a)=aθ(1)+a₁θ(0). Но применение этой формулы всегда равносильно умножению θ(a) на a+a₁, ибо aθ(a)=aθ(1) и a₁θ(a)=a₁θ(0).

[32] Легко доказать, что и вообще наша формула M=gv+hv₁=(Mv)v+(Mv₁)v₁ есть только обобщение формулы Буля M(a)=aM(1)+a₁M(0). В самом деле, при v=a, мы имеем: Mv=aM=aM(1), Mv₁=a₁M(0), т.е. действительно первая формула сводится на вторую.

[33] Справедливость требует прибавить, что при переходе от нашей формулы a=aM(1)+a₁M₁(0) к формуле Шредера a=M(1)[a+M₁(0)] мы отбрасываем логический нуль 0=M₁(0)M₁(1), независящий от a, т.е. не необходимый для характеристики a, тогда как для превращения формулы Шредера в формулу Джевонса a=aM(1) через отбрасывание логических нулей приходится отбрасывать выражение 0=a₁M₁(0)M(1), содержащее букву a, т.е. существенно необходимое для определения a.

[34] На наш взгляд, то обстоятельство, что в данном случае, как мы доказали (см. § 11), простое равенство b=ac₁ вполне выражает все условия задачи, также весьма интересно и гораздо более важно, чем результат, полученный самим Венном.

[35] Джевонс, изложив свой способ определения классов, тоже переходить к обратной задаче и посвящает ему целую 7-ую главу (об индукции) своего сочинения «Основы науки». Однако, эта его «обратная» задача не имеем ничего общего с нашей задачей, только что установленной. По нашему мнению, в «обратной» задаче Джевонса идет речь об определении числа и вида всевозможных функций данных классов. Когда-нибудь впоследствии, на досуге, мы предполагаем заняться этой задачей.

[36] Элементарные конституанты и продуценты суть элементы речи (т.е. классов), а элементарные посылки суть элементы задачи (т.е. посылок).

[37] Число это есть только схематическое, т.е. некоторые из посылок могут оказаться тождествами 0=0.

[38] Напр., при двух классах a и b, сумма продуцента a+b с конституантом a₁b₁ равна 1. И вообще всякий продуцент s, сложенный с его отрицанием, которое есть некоторый конституант t, составляет l.

[39] Заметим вообще, что когда логическая единица есть элементарная (в роде s⁽ⁱ⁾), то из двух функций u и u₁, служащих отрицанием друг друга, одна обязательно содержится в s⁽ⁱ⁾ тождественно, тогда как другая только логически. Наоборот, во всякой другой логической единице 1=M, не представляющей простого элементарного продуцента данных классов, обе функции u и u₁ вообще содержатся только логически.

[40] В самом деле, имея в равенстве 1- M функцию M разбитой на элементарные конституанты, достаточно заместить в нем 1 через 0, чтобы иметь готовыми все элементы обратной задачи 0= M.

Дата добавления: 2015-07-08