Тема 5. Кинетические явления в твердых телах

Для качественного описания кинетических явлений используют элементарный кинетический метод, в котором носители электрического заряда электроны (дырки) и носители тепла фононы рассматриваются как свободные частицы, при этом расчет ведется по отношению к одной частице, движущейся свободно между двумя последовательными столкновениями с различными рассеивающими центрами, с последующими усреднением по всем частицам. Согласно этой теории с учетом квантовых представлений, определяющих эффективную массу носителя заряда m", для электропроводности твердых тел пользуются выражением:

, (5.1)

где: n₀ - концентрации электронов, τ- время свободного пробега электрона (время релаксации).

Электропроводность материала может быть вычислена также по формуле

σ = enμ,

где использовано соотношение между средним временем свободного пробега τ и подвижностью носителей заряда μ, μ=e/m*∙τ. Подвижность носителя заряда μ численно равна скорости дрейфа V дрв электрическом поле единичной напряженности ε.

Для решения задач этой темы студенты могут воспользоваться программами MCAD, приведенными в приложениях П6, П7 и П8.

Задача 5.1. Рассчитать удельное сопротивление и теплопроводность алюминия в диапазоне температур T = 77 - 400К, если измеренное удельное сопротивление образца при Т=0°С составляет 2,45 мкОм см и концентрация электронов n₀=10²⁹м^-3.

Для Al из П.1. находим a = 4.05Ǻ, TD = 394K, T пл = 933K.

Процессы рассеяния электронов в твердом теле можно подразделить на несколько видов, из которых в данной задаче будем рассматривать два: рассеяние электронов на фононах (тепловых колебаниях решетки) и рассеяние электронов на дефектах структуры.

Рассеяние электронов на фононах по-разному зависит от температуры.

Общее выражение для электропроводности, справедливое во всем температурном диапазоне, дается следующими соотношениями Блоха-Грюнайзена:

,

,

где - приведенное идеальное сопротивление, z =hω/2πkT, x = T_D /T.

Приведенные соотношения позволяют определить электропроводность металла в двух предельных случаях: T >> T_D и T << T_D, используемых на практике для расчета.

При высоких температурах T >> T_D (температура Дебая) процесс рассеяния носит упругий характер, и средняя длина свободного пробега λ(T) определяется простой приближенной формулой:

, (5.2)

где: T_пл - температура плавления, a - параметр решетки материала.

При T << T_D характер рассеяния становится неупругим и λ(T) имеет вид:

. (5.3)

Соотношения (5.2), (5.3) позволяют приближенно оценить длину свободного пробега, определяемую рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах). На рис. 5.1 представлены зависимости λ₁(T) и λ₂(T), рассчитанные по формулам (5.2) и (5.3) соответственно для Al. Синим цветом выделена результирующая зависимость λ(T).

Рис.5.1

Время свободного пробега электронов в чистом металле τ_f(T):

, , (5.4)

где - скорость Ферми, h - постоянная Планка.

Время релаксации при рассеянии электронов на дефектах структуры в металле τ_d не зависит от температуры. Результирующее время релаксации τ_Σ при учете обоих механизмов рассеяния определяется правилом Маттиссена

, (5.5)

Формула 5.5 представляет собой алгебраическую сумму при условии преобладания одного из механизмов рассеяния.

Чтобы оценить вклад в электропроводность, вносимый рассеянием на дефектах структуры, сравним время свободного пробега электронов в чистом металле и для заданной задачи при 273К с результирующим временем релаксации τ_Σ(273). Из рис. 5.1 находим λ(273) =10^-7м, а согласно (5.4) получаем для скорости Ферми v_F= 2,1*10⁶м/c и времени свободного пробега электронов в чистом металле τ_f(273) =5* 10^-14 с. Используя выражение (5.1), по заданному измеренному значению удельного сопротивления образца при Т=0°С равному ρ=2,45 мкОм см находим результирующее время релаксации τ_Σ(273) при учете обоих механизмов рассеяния:

Сравнение показывает, что преобладает процесс рассеяния на дефектах структуры, т.к. он имеет на порядок меньшее значение (10^-15<10^-14).

Теплопроводность κ(T) металла может быть определена на основе закона Видемана-Франца, который справедлив при высоких температурах (T >> T_D), а также при температурах столь низких, что рассеяние стационарными дефектами становится преобладающим:

, ,

где L₀ - число Лоренца.

На рис. 5.2 и 5.3 представлены зависимости σ(T) и k (T) для металла различной степени очистки (стрелкой обозначен сдвиг кривых при увеличении концентрации дефектов в металле).

Рис. 5.2 Рис. 5.3

Задача 5.2. Рассчитать удельное сопротивление пленки алюминия толщиной d = 1000 Ǻ, p = 0.5 при T = 77K.

Для Al из П.1. находим a = 4.05Ǻ, TD = 394K, T пл = 933K.

Если уменьшать один из линейных размеров образца, т.е. переходить к определению электропроводности пленки, необходимо учитывать так называемые размерные эффекты.

Квантовый размерный эффект может возникать в пленках, толщина которых сравнима с длиной волны де Бройля.

При толщине металлической пленки соизмеримой со средней длиной свободного пробега, границы пленки накладывают ограничение на движение электронов проводимости. Возникающие при этом физические эффекты называются классическими размерными эффектами.

Различают зеркальное и диффузное отражение электронов от границ поверхности. Коэффициент зеркальности p зависит от шероховатости поверхности и определяется отношением зеркально отраженных электронов к полному числу электронов, падающих на поверхность.

Электропроводность тонкой пленки как функция толщины d определяется следующим интегральным выражением:

,

где: σ_пл и σ_беск электропроводность пленки и электропроводность бесконечно толстого (объемного) образца, ρ_пл и ρ_беск – соответствующие значения удельного сопротивления, – безразмерная толщина, γ =d / λ_,беск, λ_,беск - средняя длина свободного пробега бесконечно толстого образца, a - параметр, определяемый углом отражения электронов от границ поверхности.

На практике для расчета электропроводности как функции толщины используют приближенные выражения

,

,

Отметим, что последнее из приведенных соотношение справедливо лишь для малых значений p и γ < 0.5.

При зеркальном отражении электронов от поверхности (p = 1) угол падения электронов на поверхность равен углу отражения от поверхности, и проекции импульса электрона в направлении электрического поля, приложенного к образцу, сохраняются, а следовательно, электропроводность образца не меняется.

При диффузном отражении угол отражения может быть произвольным и равновероятно меняться от 0 до π. Количественное изменение электропроводности в этом случае учитываются выражениями (5.3) и (5.4) как функции параметра p.

В нашей задаче p = 0,5, что соответствует равенству диффузного и зеркального отражения

Средняя длина свободного пробега при T < TD (5.1) для объемного образца:

Полученное значение λ∞> d; выбираем для расчета формулу (5.4):

.

Из П.1. для Alρ ∞= 0.3мкОм·см, следовательно, искомое удельное сопротивление пленки ρпл ≈ ρ ∞ = 0.3мкОм·см.

Дата добавления: 2015-07-08