Тема 3. Статистика электронов твердого тела.

Для характеристики состояния большого числа частиц и квазичастиц в твердом теле, таких как электроны, фононы, дырки, атомы примеси и пр., используют классические и квантовые статистические распределения – статистику Больцмана для классических частиц, статистику Планка для фононов, статистику Ферми–Дирака для электронов и дырок в вырожденном состоянии.

Задачи этой темы способствуют формированию навыков правильного выбора и использования статистики для описания свойств частиц в заданных состояниях, главным образом электронов и дырок в металлах и полупроводниках. Для анализа состояния электронов и дырок студенты могут воспользоваться программой MCAD, приведенной в приложении П5.

Задача 3.1. Определить состояние электронного газа в кристалле кремния (n = 1019 м–3, m* = 0,7m0) в диапазоне температур T = 77-300 K.

Состояние электронного газа в кристалле может быть вырожденным, т.е. описываться распределением Ферми–Дирака для системы квантовых частиц с полуцелым спином и химическим потенциалом, равным энергии Ферми :

, (3.1)

где – среднее число частиц в соответствии с энергией En при температуре T, – функция распределения частиц по состояниям с энергией .

Если для любого , то (3.1) переходит в распределение для идеального газа электронов (дырок), которое называется невырожденным, и описывается распределением Больцмана по состояниям с энергией для системы классических невзаимодействующих частиц:

,

где , μ – химический потенциал.

Вырожденный электронный газ характеризуется значением параметров Ферми и прежде всего значением энергии Ферми EF.

Изоэнергетическая поверхность в k – пространстве с энергией E = EF называется поверхностью Ферми. Для свободного электронного газа с концентрацией электронов n и эффективной массой m * поверхность Ферми – сфера с радиусом kF, при этом

. (3.2)

Для оценки степени вырождения электронного газа вычисляем энергию Ферми (3.2):

и тепловую энергию в заданном диапазоне температур EТ:

при Т=77К, EТ = k Б Т = 1.38∙10–23∙77 = 1.06∙10–21Дж < 3.8∙10–21Дж,

при Т=300К, EТ = k Б Т = 1.38∙10–23∙300 = 4.14∙10–21Дж>3.8∙10–21Дж.

Используя критерий вырождения, в нашем случае для заданной концентрации электронов при Т = 77К имеем слабо вырожденный электронный (дырочный) газ, который при повышении температуры до 300К становится вырожденным и описывается распределением Ферми–Дирака (3.1),

Тема 4. Энергетический спектр электронов в кристалле (зонная структура)

Для описания поведения электронов в кристалле воспользуемся вероятностными законами квантовой механики и, так называемым, квазиклассическим приближением. Критерием выбора является соотношение между длиной волны де Бройля для частицы λБри характерным геометрическим размером системы, например, постоянной решетки a.

Соотношение де Бройля сопоставляет свободной частице с энергией E и импульсом p волну с частотой ω и длинной волны λБр:

. (4.1)

Если λБрстановится соизмеримой с a, частица описывается законами квантовой механики. В этом случае движение частицы определяется волновой функцией Ψ(r, t), которую находят из уравнения Шредингера

,

где – оператор полной энергии.

Для характеристики частицы в пространстве необходимо решить уравнение Шредингера:

(4.2)

и найти энергетический спектр, т.е. зависимость энергии частицы от волнового вектора k – волновой функции Ψ(r).

Дата добавления: 2015-07-08