H1 :по крайней мере один из коэффициентов регрессии β1, β2, . , βk ¹ 0.

Выполнить F -тест проще всего, отыскав в результатах работы компьютерной программы подходящее р - значение и интерпретировав результирующий уровень значимости. Если р- значение больше, чем 0,05, то полученный результат не является значимым. Если же это р- значение меньше, чем 0,05, то полученный результат является значимым. Если р < 0,01, тогда по­лученный результат является высоко значимым, и т.д.

Еще один способ выполнения F- теста заключается в сравнении значения R² (процент вариации Y, который объясняется Х- переменными) со значениями из таблицы критических значений R² для подходящего уровня тестирования (на­пример, 5%). Если значение R² оказывается достаточно большим, тогда регрес­сия считается значимой, т.е. удалось объяснить больше, чем просто случайную величину вариации Y. Эта таблица индексирована по п (количество наблюдений) и k (количество Х- переменных).

Традиционный способ выполнения F- теста интерпретировать несколько слож­нее, но он всегда дает тот же результат, что и таблица критических значений R². Классический F-тест, как правило, выполняется путем вычисления F _{статистики} и сравнения ее с критическим значением из F- таблицы для соответствующего уровня тести­рования. При этом используются два разных числа степеней свободы: число степеней свободы k₁ (количество Х- переменных, предназначенных для объяснения Y или количество параметров в уравнении регрессии минус единица, т.е. k₁ = m – 1) и число степеней свободы k₂ = n – m (где. n – количество наблюдений в выборке, а m – количество параметров в уравнении регрессии).

В то же время F _{статистика} является излишним усложнением, поскольку значение R² можно проверить непосредственно. Более того, R² имеет более непо­средственную интерпретацию, чем F _{статистика}, поскольку R² говорит о той час­ти вариации Y, которая учитывается (или объясняется) Х- переменными, тогда как F не имеет столь простой и непосредственной интерпретации в терминах ис­ходных данных. Какой бы подход – F или R² – вы ни использовали, ответ (о значимости или не значимости) всегда будет одним и тем же на любом уровне тестирования.

Почему же по традиции используется более сложная F _{статистика}, в то время как вместо нее можно было бы обратиться к тесту R², допускающему более удобную и непосредственную интерпретацию? Возможно, все объясняется имен­но сложившейся традицией, а возможно, и тем, что уже давно и с успехом на практике применяются именно F- таблицы. Использование осмысленного числа (такого как R² ) позволяет глубже понять исследуемую ситуацию и выглядит предпочти­тельнее, особенно когда речь идет о сфере бизнеса.

Результат F-теста (решение принимается на основе р- значения)

Если р- значение больше, чем 0,05, значит, соответствующая модель не является значимой (вы прини­маете нулевую гипотезу о том, что Х- переменные не помогают прогнозировать Y). Если р- значение оказывается меньше, чем 0,05, значит, соответствующая модель является значимой (вы отвергаете нулевую гипотезу и принимаете альтернативную гипотезу о том, что Х- переменные по­могают прогнозировать Y).

Результат F-теста (решение принимается на основе R²)

Если значение R² меньше, чем критическое значение в таблице R², значит, соответствующая модель не является значимой.. Если значение R² больше, чем критическое значение в таблице R², значит, соответ­ствующая модель является значимой. Этот ответ в любом случае будет таким же, как результат, полу­ченный с помощью р- значения.

Результат F-теста (решение принимается на основе критерия F)

Если значение F оказывается меньше, чем критическое значение в F -таблице, значит, соответствующая модель не является значимой. Если значение F оказывается больше, чем критическое значение в F- таблице,- соответствующая модель является значимой. Этот ответ в любом случае будет таким же, как результат, полученный с помощью р- значения или R².

Помните, что статистический смысл термина «значимый» несколько отличается от его обыденного смысла. Когда вы находите значимую модель регрессии, то знаете, что взаимосвязь между Х- переменными и Y оказывается сильнее, чем обычно можно было бы ожидать от чистой случайности. Другими словами, в этой ситуации можно говорить о наличии определенной взаимосвязи. Эта взаи­мосвязь может быть сильной или полезной в том или ином практическом смысле (а может, и не быть таковой) – эти вопросы требуют специального рассмотре­ния, – но она достаточно сильна, чтобы не выглядеть как чистая случайность.

Если вернуться к нашему примеру с тарифами на размещение рекламы в жур­налах, то соответствующее уравнение прогнозирования действительно объясняет значимую долю отклонения в тарифах, на что указывает в результатах работы компьютерной программы р- значение 0,000000 справа от значения F, равного 62,843. В табл. 1 содержится часть результатов работы компьютерной програм­мы, приведенных в предыдущей лекции.

Таблица 1. Результат множественной регрессионного анализа тарифов на размещение рекламы в журналах

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множествен. R	0,887
R-квадрат	0,787
Нормированный R-квадрат	0,775
Стандартная ошибка	21577,870				р- значение
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия				62,843	0,000000
Остаток
Итого

Это говорит о том, что действительно обнаруживается устойчивая зависимость та­рифов от этих факторов (или по крайней мере от одного из этих факторов), т.е. та­рифы не являются чисто случайными величинами. Вам по-прежнему неизвестно, какие именно из этих Х- переменных реально участвуют в прогнозировании Y, но вам доподлинно известно, что есть по крайней мере одна такая переменная.

Чтобы выяснить с помощью R², действительно ли уравнение регрессии явля­ется значимым, отметим, что коэффициент детерминации R² = 0,787, или 78,7%. Таблица R² для тестирования на уровне 5% в случае п= 55 журналов и k=3 переменных (табл. 2) дает критическое значение 0,141, или 14,1%. Для того чтобы уравнение было значимым на привычном уровне 5%, X- переменные должны объяснять лишь 14,1% вариации тарифов (Y). Поскольку они объясняют больше, регрессию следует признать значимой.

Таблица 2. Таблица R²: критические значения для уровня 5% (значимо)

Количество наблюдений (n)	Количество Х -переменных (k)
	0,994
	0,902	0,997
	0,771	0,950	0,998
	0,658	0,864	0,966	0,999
	0,569	0,776	0,903	0,975	0,999
	0,499	0,698	0,832	0,924	0,980	0,999
	0,444	0,632	0,764	0,865	0,938	0,983	0,999
	0,399	0,575	0,704	0,806	0,887	0,947	0,985	0,999
	0,362	0,527	0,651	0,751	0,835	0,902	0,954	0,987	1,000
	0,332	0,486	0,604	0,702	0,785	0,856	0,914	0,959	0,989	1,000
	0,306	0,451	0,563	0,657	0,739	0,811	0,872	0,924	0,964	0,990
	0,283	0,420	0,527	0,618	0,697	0,768	0,831	0,885	0,931	0,967
	0,264	0,393	0,495	0,582	0,659	0,729	0,791	0,847	0,896	0,937
	0,247	0,369	0,466	0,550	0,624	0,692	0,754	0,810	0,860	0,904
	0,232	0,348	0,440	0,521	0,593	0,659	0,719	0,775	0,825	0,871
	0,219	0,329	0,417	0,494	0,564	0,628	0,687	0,742	0,792	0,839
	0,208	0,312	0,397	0,471	0,538	0,600	0,657	0,711	0,761	0,807
	0,197	0,297	0,378	0,449	0,514	0,574	0,630	0,682	0,731	0,777
	0,187	0,283	0,361	0,429	0,492	0,550	0,604	0,655	0,703	0,749
	0,179	0,270	0,345	0,411	0,471	0,527	0,580	0,630	0,677	0,722
	0,171	0,259	0,331	0,394	0,452	0,507	0,558	0,607	0,653	0,696
	0,164	0,248	0,317	0,379	0,435	0,488	0,538	0,585	0,630	0,673
	0,157	0,238	0,305	0,364	0,419	0,470	0,518	0,564	0,608	0,650
	0,151	0,229	0,294	0,351	0,404	0,454	0,501	0,545	0,588	0,629
	0,145	0,221	0,283	0,339	0,390	0,438	0,484	0,527	0,569	0,609
	0,140	0,213	0,273	0,327	0,377	0,424	0,468	0,510	0,551	0,590
	0,135	0,206	0,264	0,316	0,365	0,410	0,453	0,495	0,534	0,573
	0,130	0,199	0,256	0,306	0,353	0,397	0,439	0,480	0,518	0,556
	0,126	0,193	0,248	0,297	0,342	0,385	0,426	0,466	0,503	0,540
	0,122	0,187	0,240	0,288	0,332	0,374	0,414	0,452	0,489	0,525
	0,118	0,181	0,233	0,279	0,323	0,363	0,402	0,440	0,476	0,511
	0,115	0,176	0,226	0,271	0,314	0,353	0,391	0,428	0,463	0,497
	0,111	0,171	0,220	0,264	0,305	0,344	0,381	0,417	0,451	0,484
	0,097	0,150	0,193	0,232	0,268	0,303	0,336	0,368	0,399	0,429
	0,078	0,120	0,155	0,186	0,216	0,244	0,272	0,298	0,323	0,348
	0,076	0,117	0,152	0,183	0,212	0,240	0,267	0,293	0,318	0,342
	0,075	0,115	0,149	0,180	0,208	0,235	0,262	0,287	0,312	0,336
	0,073	0,113	0,146	0,176	0,204	0,231	0,257	0,282	0,306	0,330
	0,072	0,111	0,143	0,173	0,201	0,227	0,252	0,277	0,301	0,324
	0,071	0,109	0,141	0,170	0,197	0,223	0,248	0,272	0,295	0,318
	0,069	0,107	0,138	0,167	0,194	0,219	0,244	0,267	0,290	0,313
	0,068	0,105	0,136	0,164	0,190	0,215	0,240	0,263	0,285	0,308
	0,067	0,103	0,134	0,161	0,187	0,212	0,236	0,258	0,281	0,303
	0,066	0,101	0,131	0,159	0,184	0,208	0,232	0,254	0,276	0,298
	0,065	0,100	0,129	0,156	0,181	0,205	0,228	0,250	0,272	0,293
Множитель 1	3,84	5,99	7,82	9,49	11,07	12,59	14,07	15,51	16,92	18,31
Множитель 2	2,15	-0,27	-3,84	-7,94	-12,84	-18,24	-23,78	-30,10	-36,87	-43,87

Если у вас более 60 наблюдений, критические значения можно найти с по­мощью двух множителей, указанных внизу таблицы R². Для этого необходимо воспользоваться следующей формулой:

Критическое значение = (Множитель 1 / n) + (Множитель 2 / n)

Когда в качестве р- значения (Значимость F) указывается 0,000000 (см. таблицу 5), его можно интерпретировать как р < 0,0005, поскольку р- значение, которое больше или равно 0,0005, будет округлено до 0,001. Используя терми­нологию р- значений, можно сказать, что регрессия в данном случае является очень высоко значимой (р < 0,001).

Чтобы убедиться в этом очень высоком уровне значимости, используя непо­средственно F-тест, можно сравнить F _{статистику} 62,843 (из компьютерной распечат­ки) со значением из F- таблицы для уровня 5% (табл. 3), которое находится между 2,922 и 2,758 для k₁ = m – 1 = 3 степеней свободы и k₂ = n – m = 55 – 4 = 51 степеней свободы.

Таблица 3. F-таблица: критические значения для уровня значимости 5%

степени свободы ()	степени свободы ()
	161,45	199,50	215,71	224,58	230,16	233,99
	18,513	19,000	19,164	19,247	19,296	19,330
	10,128	9,552	9,277	9,117	9,013	8,941
	7,709	6,944	6,591	6,388	6,256	6,163
	6,608	5,786	5,409	5,192	5,050	4,950
	5,987	5,143	4,757	4,534	4,387	4,284
	5,591	4,737	4,347	4,120	3,972	3,866
	5,318	4,459	4,066	3,838	3,687	3,581
	5,117	4,256	3,863	3,633	3,482	3,374
	4,965	4,103	3,708	3,478	3,326	3,217
	4,840	3,980	3,590	3,360	3,200	3,090
	4,747	3,885	3,490	3,259	3,106	2,996
	4,543	3,682	3,287	3,056	2,901	2,780
	4,410	3,550	3,160	2,930	2,770	2,660
	4,380	3,520	3,130	2,900	2,740	2,630
	4,351	3,493	3,098	2,866	2,711	2,599
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51
	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43
	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534	2,421
	4,001	3,150	2,758	2,525	2,368	2,254
	3,920	3,072	2,680	2,447	2,290	2,175'
	3,841	2,996	2,605	2,372	2,214	2,099

Поскольку значение 51 в таблице отсутствует, нам известно, что необходимое нам значение из F -таблицы находит­ся в диапазоне от 2,922 для 30 степеней свободы знаменателя и для 60 степеней свободы знаменателя. Поскольку данная F _{статистика} (62,843) намного больше, чем значение из F- таблицы (значение из диапазона от 2,758 до 2,922), мы опять приходим к выводу, что полученный результат имеет очень высокую значимость.

---

Дата добавления: 2015-07-10