Статистический вывод в случае множественной регрессии: F-тест

Полученные нами к настоящему времени результаты регрессии представляют собой достаточно полное описание исследуемых (п = 55) журналов, однако ста­тистический вывод помог бы нам обобщить этот случай на идеализированную популяцию подобных им журналов. Вместо того чтобы просто констатировать тот факт, что увеличение на один процент числа читателей-мужчин приводит к уменьшению тарифа на размещение рекламы в среднем на $124, можно сделать статистический вывод относительно большой генеральной совокупности журна­лов такого типа, из которой вполне могли бы быть извлечены имеющиеся дан­ные, и попытаться выяснить, существует ли в действительности какая-либо взаимосвязь между полом читателей журнала и тарифами на рекламу, или ко­эффициент регрессии, равный -$124, можно объяснить просто случайностью. Может ли быть так, что обнаруженное нами влияние процента читателей-мужчин на стоимость рекламы – это просто случайное число, а не свидетельст­во наличия систематической взаимосвязи? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью статистического вывода.

Чтобы не усложнять пример, предположим, что мы располагаем случайной выборкой из намного большей генеральной совокупности. Допустим также, что эта генеральная совокупность характеризуется линейной взаимосвязью со слу­чайностью, представленной моделью множественной линейной регрессии, в со­ответствии с которой наблюдаемое значение Y определяется взаимосвязью в генеральной совокупности плюс нормально распределенная случайная ошибка. Предполагается также, что эти случайные ошибки для разных наблюдений (эле­ментарных единиц наших данных) не зависят друг от друга.

Модель множественной регрессий для генеральной совокупности:

Y = (α + β ₁X₁ + β ₂Х₂ +... + β _kX_k ) + ε

= (взаимосвязь в генеральной совокупности) + случайность,

где ε характеризуется нормальным распределением со средним значением 0 и постоянным стандартным отклонением σ, причем эта случайность является не­зависимой для каждого из наблюдений (элемен­тарных единиц данных).

Взаимосвязь в генеральной совокупности определяется k + 1 параметрами: α представляет сдвиг (или постоянный член) для генеральной совокупности, a β ₁, β ₂,…, β _k являются коэффициентами регрессии для генеральной совокупности, которые показывают среднее влияние каждой из Х- переменных на У (в данной генеральной совокупности), при условии, что все остальные Х- переменные оста­ются неизменными. Если бы вы имели данные обо всей гене­ральной совокупности, то полученные вами с помощью метода наименьших квадратов коэффициенты регрессии ничем не отличались бы от соответствующих коэффициентов, описывающих связь в генеральной совокупности. Как правило, однако, полученный методом наименьших квадратов сдвиг а является лишь статистической оценкой α, а полученные методом наименьших квадратов ко­эффициенты регрессии b₁, b₂,..., b_k представляют лишь статистические оценки β ₁, β ₂,…, β _k соответственно. Существуют, конечно же, ошибки, обусловленные процессом оценивания, поскольку выборка намного меньше всей генеральной совокупности.

Значима ли модель? Статистический вывод начинается с F -теста, целью которого является выяс­нение, объясняют ли Х- переменные значимую часть вариации Y. F -тест исполь­зуется как «входные ворота» в статистический вывод: если этот тест значим, следовательно, связь существует и можно приступать к ее исследованию и объ­яснению. Если этот тест незначим, то мы имеем дело с набором не связанных между собой случайных чисел – объяснять, в сущности, нечего. Помните, что, когда вы принимаете нулевую гипотезу, это считается слабым заключением. Вы не доказали, что взаимосвязи нет: вам просто не хватает убедительных доводов в пользу наличия такой взаимосвязи. Взаимосвязь вполне может существовать, но из-за случайности или малого размера выборки вы не в состоянии обнаружить ее с помощью тех данных, которые имеются в вашем распоряжении.

Нулевая гипотеза для F -теста утверждает, что в генеральной совокупности между Х- переменными и Y прогнозирующая взаимосвязь отсутствует. Иначе говоря, Y является чисто случайной величиной и значения Х- переменных не оказывают на Y никакого влияния. Если посмотреть на модель множественной линейной регрессии, то это утверждение означает, что Y = α + ε, что может иметь место в том случае, если все коэффициенты регрессии в генеральной сово­купности равны 0.

Альтернативная гипотеза F -теста утверждает, что в генеральной совокупности между Х- переменными и Y существует определенная прогнозирующая взаимо­связь. Таким образом, переменная Y уже не является чисто случайной величи­ной и должна зависеть по крайней мере от одной из Х- переменных. Иными сло­вами, альтернативная гипотеза утверждает, что по крайней мере один из коэф­фициентов регрессии не равен 0. Обратите внимание: вовсе не обязательно, чтобы каждая из Х- переменных влияла на Y – достаточно, чтобы влияла хотя бы одна из них.

В F -тестеиспользуются следующие статистические гипотезы:

H₀: β ₁ = β ₂ =... = β _k = 0;

Дата добавления: 2015-07-10