VПрипущення 3. Відсутність автокореляції залишків.

Це означає, що значення вектора стохастичної складової моделі повинні бути незалежні між собою

. (10)

v Припущення 4. Незалежні (пояснюючи) змінні не пов’язані із стохастичною складовою моделі:

. (11)

v Припущення 5. Матрицяспостережень Х неє стохастичною.

v Припущення 6. Відсутність мультиколіарності.

Незалежні змінні моделі не повинні бути мультиколінеарними, тобто між ними не повинно існувати лінійного функціонального або тісного кореляційного зв’язку. Слід зазначити, що дане припущення має місце тільки для багатофакторної регресії.

v Припущення 7. Випадкова величина має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням О і сталою дисперсією:

. (12)

Перше припущення стверджує що, невраховані у моделі і тому віднесені до стохастичної складової ε фактори не впливають систематично на математичне сподівання залежної змінної y. У протилежному ж випадку існує систематичний вплив на залежну змінну і до моделі не введено всі основні пояснюючі змінні.

Друге і третє припущення передбачають відсутність автокореляції залишків (залежність між залишками у вибірці) і гомоскедастичність моделі (сталість дисперсії залишків). Відсутність автокореляцій залишків дає можливість вивчати тільки систематичний вплив незалежних змінних на залежну. Сталість дисперсії залишків (гомоскедастичність) дає підстави вважати всі значення залежної змінної y_і, які відносяться до різних спостережень однаково важливими при оцінюванні параметрів моделі.

П’яте припущення означає, що пояснюючі змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, внаслідок чого матриця спостережень за незалежними змінними моделі має повний ранг і .

2.2. Процедура оцінювання параметрів моделі 1МНК

В основу методу найменших квадратів покладено критерій, згідно якого, „найкращою” серед усіх можливих вважається функція регресії з такими параметрами, для якої сума квадратів залишків є мінімальною. У математичному вигляді цей критерій має наступний вигляд:

. (13)

Використовуючи цей критерій і визначаються параметри вибіркової лінійної моделі.

Подамо рівняння (4) у вигляді: . Тоді суму квадратів залишків e можна записати таким чином:

. (14)

Для мінімізації суми квадратів залишків візьмемо похідну від виразу (14) за вектором оцінок параметрів В і прирівняємо похідні до нуля:

. (15)

З виразу (15) маємо:

. (16)

Вираз (16) представляє собою матричну форму запису так званої системи нормальних рівнянь. Розв’язавши її відносно вектора оцінок В отримаємо оцінку параметрів моделі. З цією метою помножимо обидві частини виразу (16) на обернену матрицю :

. Оскільки , де E – одинична матриця остаточно отримуємо:

. (17)

Таким чином, сформувавши на основі статистичної вибірки вектор спостережень за залежною змінною моделі Y і матрицю спостережень за незалежними змінними моделі X, за формулою (17) можна обчислити вектор оцінок параметрів моделі B.

Для зручності використання виразу (17) розпишемо у розгорнутій формі матриці та :

, (18)

.

. (19)

Підсумовуючи усе вище сказане можна рекомендувати наступну послідовність кроків оцінювання параметрів загальної лінійної економетричної моделі на основі деякої статистичної вибірки:

1) формування вектору спостережень за залежною змінною моделі Y;

2) формування матриці спостережень за незалежними змінними моделі X;

3) формування матриці на основі залежності (18);

4) формування матриці на основі залежності (19);

5) визначення оберненої матриця ;

6) визначення вектору оцінок параметрів моделі В як добутку матриць і згідно виразу (17).

i Зауваження 1. У випадку парної лінійної регресії оператор оцінювання (16) значно спрощується і оцінки параметрів β₀ і β₁ можна визначити за наступними простими формулами:

, (20)

, (21)

де: - вибірковий коефіцієнт коваріації,

- вибіркова дисперсія пояснюючої змінної моделі,

- середнє значення пояснюючої змінної x, - середнє значення залежної змінної y.

Слід зазначити, що рівняння регресії, параметри якого оцінені методом найменших квадратів, має декілька корисних властивостей, які використовуються у практичних дослідженнях.

1. Пряма регресії (поверхня або гіперповерхня регресії) проходить через середню точку з координатами .

2. Середнє значення оцінки залежної змінної дорівнює фактичному середньому значенню, тобто .

3. Сума залишків моделі дорівнює нулю, тобто .

Дата добавления: 2015-07-10