Решение. 1. Из условия статического равновесия определим опорные реакции YА и YВ

1. Из условия статического равновесия определим опорные реакции Y _А и Y _В, произвольно направив их вверх:

; ;

; ;

Проверка: ;

- F + Y _А – q ×2 l +Y_В = 0;

- 4 + 12,6 – 8×2×2 + 23,4 =0;

36 –36 = 0.

Таким образом, величина и направление опорных реакций определены верно.

2. Определяем аналитически величины поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки и строим эпюры Q (рис. 1, б) и М (рис.1, в)

Для построения эпюры Q проводим параллельно оси балки, ось эпюры и откладываем в масштабе величины поперечных сил с учетом знака.

Затем определяем аналитически значения изгибающих моментов по участкам балки, согласно правилу знаков для изгибающих моментов, и строим в масштабе эпюру М.

Участок I:

z = 0; Q_y = - Y _B = - 23,4 кН; М_Х = 0;

z = 4м; Q _y = - 23,4 + 8 × 4 = 8,6 кН; М_Х = 23,4 × 4 – 8 ×4²/2= 29,6 кНм.

Участок II:

z = 0; ;

z = 2 м; 23,4 (2 × 2 + 2) - 8 × 2 × 2 (2 + 2) = 12,4 кНм.

Участок III:

Q_y = - F = - 4 кН;

M_x = - F z;

z = 0; ;

z = 2 м;

Участок IV:

Q_y = - F + Y _A = - 4 + 12,6 = 8,6 кН;

;

z = 0; ;

z = 2 м;

На первом участке видим, что эпюра поперечных сил пересекла ось на каком-то расстоянии z^*. Это говорит о том, что в этой точке на эпюре изгибающего момента возникает экстремум.

Для определения экстремального значения изгибающего момента первого участка найдем расстояние z^* из уравнения поперечной силы первого участка, зная, что эта величина в данной точке равна нулю:

z ^* = .

Подставляем в уравнение изгибающего момента первого участка найденное значение z^* и вычисляем экстремальный изгибающий момент:

После этого строим эпюру изгибающих моментов по участкам балки (рис. 1,в), откладывая величину изгибающего момента в начале и конце каждого участков c учетом знака. Затем, обращая внимание на степенной показатель переменной величины z – длины участка в общем уравнении изгибающего момента, соединяем соответствующей линией эти точки.

Первый участок имеет уравнение изгибающего момента с переменной величиной z во второй степени, т.е. начальную, экстремальную и конечную точки величин изгибающих моментов первого участка соединяем параболической кривой. На остальных трех участках переменная функция z в первой степени, что показывает линейную зависимость изменения величины изгибающих моментов.

3. Устанавливаем опасные сечения по нормальным и касательным напряжениям.

Опасное сечение по нормальным напряжениям определяется по максимальному изгибающему моменту М.

В нашей задаче это будет точка экстремума на первом участке (рис. 1,в) балки при М_max = 34,2 кНм.

Опасное сечение по касательному напряжению будет в точке опоры В, где максимальная величина поперечной силы (рис.1,б). Q_max = 23,4 кН.

4. Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем двутавровое сечение:

; .

Из сортамента принимаем ближайшую большую величину W _x = 232 см³ и выписываем необходимые значения для двутаврового прокатного профиля № 22: h = 22 см; В = 11 см; d = 0,54 см; t = 0,87 см; J_x = 2550 см⁴; S_x = 131 см³.

5. Строим эпюру нормальных напряжений (рис.2,б).

Для этого вычисляем напряжения в крайних точках 1 и 1’ поперечного сечения при (рис.2,а).

Эп. , МПа Эп. , МПа

а) б) в)

Рис. 2

где J_x - момент инерции площади поперечного сечения двутавра относительно оси х; y - расстояние от нейтральной оси до точек 1 и 1’.

Недогрузка по нормальным напряжениям составляет

6. Построение эпюры касательных напряжений (рисунок 2,в). С этой целью вычисляем напряжения в точках 2, 2’ и 3 по формуле Журавского:

.

Опасным сечением по касательным напряжениям является сечение, в котором возникает наибольшее по абсолютной величине внутренняя поперечная сила. В нашем случае опасным сечением является – сечение В, в котором Q _max = 23,4 кН.

Максимальные касательные напряжения возникают в нейтральном слое поперечного сечения, т.е. в точке 3 (рис. 2). Тогда

,

где S_x = 131 см ³ – максимальный статический момент половины площади поперечного сечения, взятый из сортамента.

Условие прочности выполняется, т.к.

Вычислим напряжения в точках 2 и 2’. Для этого определим статический момент отсеченной площади, расположенной выше точки 2:

По формуле Журавского вычисляем касательные напряжения в точках 2 и 2’:

По полученным значениям величин касательных напряжений в выбранном масштабе строим эпюру ( рисунок 2,в).

Дата добавления: 2015-07-10