Геометрическое определение вероятности

Пусть на плоскости задана некоторая область D, мера (площадь) которой равна S(D), и в ней содержится область d,мера (площадь) которой равна s (d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу

Условия использования различных определений вероятности события.

• События равновозможны (испытания можно не проводить) при конечном числе исходов – классическое определение;

• События не равновозможны (испытания нужно проводить) при конечном числе исходов - статистическое определение;

• Число исходов события бесконечн о - геометрическое определение.

Теорема 1. (о сумме попарно несовместных событий). Вероятность суммы попарно несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2 .(о сумме двух событий). Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Пример. В лотерее выпущено 10 000 билетов.

Установлено: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший 1 билет, выиграет не менее 25 рублей?

Решение. А- «человек выиграл 25 руб», В- «человек выиграл 100 руб», С- «человек выиграл 200 руб», М- «человек выиграл не менее 25 руб». События А, В, С – попарнонесовместны. Зн., М=А+В+С и Р(М)= Р(А)+Р(В)+Р(С)= =0,061.

Если вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло другое событие А, то говорят, что вероятность события В является условной. Обозначения: - условная вероятность В, если А произошло.

Теорема 3 (о произведении двух событий). Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, если первое событие произошло.

Если события А и В происходят независимо друг от друга, то

Пример. Из колоды в 36 карт наугад вынимаем 2 карты. Вычислим вероятность того, что вынуты а) две дамы; б) дама и валет.

Обозначим события: А – «первая карта - дама», В – «вторая карта - дама», С – «вторая карта - валет».

P(AB) -? P(AC) -?;

Вопросы для проверки:

1. Каким событием является появление жирафёнка у кошки? наступление темноты при полном солнечном затмении?

2. Какова вероятность того, что из урны, в которой 10 красных и 5 синих шара вынули синий и красный шар?; вынимают один за другим 2 шара. Какова вероятность того, что второй шар белый?

Решение. Пусть А- «первый шар белый», В- «второй шар белый». Р(А)=10/15=2/3 Если А произошло: Р(В)=9/14. Если А не произошло: Р(В)=10/14=5/7. Значит, вероятность В – условная: Р(В/А)=9/14

Задачи по т. вероятности.

1. В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?

2. В партии из 200 лампочек 10 бракованных. Наудачу берём одну лампочку. Вычислите вероятность того, что эта лампочка исправна.

3. Игральная кость подбрасывается один раз. Найдите вероятность следующих событий: А – «число выпавших очков равно 3», В – «число очков чётно», С – «число очков меньше 5», D – «число очков не меньше 2».

4. Из коробки, в которой имеется 4 жёлтых, 4 синих и 6 красных карандашей наудачу берут 1 карандаш. Какова вероятность того, что карандаш синий?; синий или красный?

5. В студенческой группе 20 девушек и 10 юношей. Выбираются 3 человека для участия в конференции. Найдите вероятность того, что отобраны 3 девушки.

6. В читальном зале есть 12 учебников по теории вероятности, среди которых 4 новых. Наудачу берём 2 учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника новые.

7. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула есть в первом справочнике, равна 0,6, во втором – 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится и в первом, и во втором справочниках

8. В одной урне 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 7 белых и 3 чёрных. Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?; шарики разных цветов?

9. Слово МОЛНИЯ разрезали на буквы, взяли наугад 4 буквы и выложили в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово МИЛЯ?

10. В цехе работают несколько станков. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно 1 станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно 2 станка, равна 0,13. вероятность того, что за смену потребуют наладки больше 2-х станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?

11. В день физкультурника Сизов пошёл на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3, или купить билет на баскетбол с вероятностью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что: 1) Сизов попал на соревнование, 2) Сизов попал на соревнование, в котором запрещена игра ногой?

12. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку - с вероятностью 0,2, в восьмёрку – с вероятностью 0,6. найти вероятности следующих событий после одного выстрела: А – выбито не менее восьми очков, В – выбито более восьми очков.

13. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь шаров. а) Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что ровно 3 из них красные? б) Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не больше 3?

14. В ящике лежат 13 зелёных, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шаров. Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что вынуто 3 зелёных, 2 красных и 3 синих шара?

15. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. а) Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что хоть один из них окажется белым? б) Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного белого шара?

16. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 разных марок на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?

17. Сколькими способами можно расставить на 32-х полях шахматной доски 12 белых и 12 чёрных шашек?

18. Из ящика с 12 белыми и 8 чёрными шарами наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба они белые, что они разного цвета?

19. В одном ящике лежат 8 белых и 12 красных шаров, в другом – 15 синих и 5 чёрных шаров. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что вынули красный и чёрный шары?

20. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зелёных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуто: 1 зелёный, 2 синих и 3 красных шара?

21. На шести одинаковых карточках написаны буквы А,В,К,М,О,С. Карточки выкладываются наугад вряд. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА?

22. В ящике лежат 31 деталь первого сорта и 6 деталей второго сорта. Наугад вынимают 3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все детали первого сорта; б) хотя бы одна из вынутых деталей первого сорта?

Дата добавления: 2015-07-10