Читайте также:
|
|
Тема 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. У квадратной матрицы различают главную диагональ:
и побочную диагональ:
. Любой квадратной матрице
порядка
можно поставить в соответствие число
, равное алгебраической сумме
слагаемых, составленных определённым образом из элементов
матрицы
,называемое определителем матрицы. Кратко обозначается
,
.
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
.
Минором элемента называется определитель
, полученный из определителя
вычёркиванием
-ой строки и
-ого столбца.
Алгебраическим дополнением элемента
называется его минор
, взятый со знаком
:
.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по
-ой строке (
) называется соотношение:
.
Разложением определителя по
-ому столбцу (
) называется соотношение:
Определители обладают следующими свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов: .
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел
(
,
):
, состоящая из
строк и
столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут
.
Если , то матрица
называется квадратной.
Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например:
. Единичной называется квадратная матрица
, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например:
. Треугольной называется квадратная матрица
, все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например:
. Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица
, все элементы которой, расположенные ниже элементов
равны нулю, например:
.
Матрицы и
называются равными и пишут
, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:
,
,
.
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица
, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы
.
Суммой (разностью) матриц и
одного размера
, называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Произведением матрицы размера
на число
называется матрица
того же размера, для которой:
,
,
.
Линейной комбинацией матриц и
одного размера
, называется матрица
того же размера (
и
- произвольные числа), для которой:
,
,
,
Произведением матрицы на матрицу
называется матрица
, каждый элемент которой
вычисляется по правилу:
,
,
.
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы
. Такие матрицы называются согласованнымидля умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):
. Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае:
, т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и
, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут
.
Обратной к квадратной матрице порядка
, называется матрица
того же порядка, если:
, где
- единичная матрица порядка
.
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель
. Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то
, где
- присоединённая матрица, для которой:
. Здесь
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
В частности, если , то
Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы порядка
строится прямоугольная матрица
размера
приписыванием к
справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица
приводится к виду
, что всегда возможно, если
- невырожденная.
Матричными называются уравнения вида: ,
,
,
где матрицы - известны, матрица
- неизвестна. Если квадратные матрицы
и
- невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:
,
,
.
Минором -ого порядка матрицы
размера
называется определитель
квадратной матрицы порядка
, образованной элементами матрицы
, стоящими на пересечении произвольно выбранных её
строк и
столбцов
.
Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы
, называется её рангом и обозначается
или
, а любой минор порядка
, отличный от нуля – базисным минором.
Тема 3. Системы линейных уравнений.
…Система уравнений вида: называется системой
линейных уравнений с
неизвестными. Числа
называются коэффициентами системы,
- свободными членами системы,
- неизвестными системы.
В матричной форме система имеет вид: , где
,
,
.Здесь
-матрица системы,
-матрица-столбец неизвестных,
-матрица-столбец свободных членов.
Если , то система называется однородной, в противном случае неоднородной.
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 120 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Решение. | | | Система, матрица которой является треугольной с диагональными элементами , называется треугольной. Система, матрица которой является трапециевидной, называется трапециевидной. |