Г) ; д) ; е) .

8.1–30. Установить, какую кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её:

а) ; б) ;

в) .

Решение:

а) Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет гиперболу с центром в точке и осями симметрии параллельными координатным осям. Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктиром прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко при бесконечном удалении от начала координат приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 1).

Ответ: Гипербола с центром в точке (см. рис.1)..

Рис.1

б) Выделяя полные квадраты в левой части

уравнения , преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).

Ответ: Эллипс с центром в точке (см. рис.2).

в). Выделяя полные квадраты в левой части уравнения , преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).

Ответ: Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).

Рис.2. Рис.3.

9.1-30. Требуется:

а) найтиобласть определения функции ;

б) установить чётность (нечётность) функции .

Решение. а) Естественную область определения находим как множество всех значений аргумента функции, для которых формула имеет смысл: . Решив (на числовой прямой) систему неравенств , устанавливаем, что геометрическим образом множества является промежуток .

б) Находимсначала естественнуюобласть определения функции : . Решив (на числовой прямой) неравенство , устанавливаем, что геометрическим образом множества является объединение промежутков .

Так как область является симметричной относительно точки , то проверяем выполнение для всех условий: или , учитывая чётность и нечётность основных элементарных функций, входящих в аналитическое выражение .

Если область не симметрична относительно точки , то на этом множестве является функцией общего вида.

Для этого находим . Поскольку для всех , то функция является чётной.

Ответ: а) , ;

б) функция - чётная.

10.1-30. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б) в) г) д)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , , , которые раскрывают тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы: , , (), , , , , .

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

б) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где . 2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

В результате получим

в) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: , , , , где при , используя формулы тригонометрии: , , . После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: , , , .

г)

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражение представляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что = .