Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификации.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке т.е.

. Сле-дствие. Значение предела функ-ции в точках непрерывности совпа-дает со значением функции в этих точках. Если функция у = f(х) непре-рывна в каждой точке интервала (а,b), то она называется непрерывной на интервале (а, b).Это определение распростра-няется и на случай бесконечных интервалов, т.е. проме-жутков вида (—,b), (a,+), (—,+). Например, функция у = х2 непрерывна на (-, +), а функция у = 1/х непрерывна на каждомиз двух промежутков: (—, 0), (0, +) Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. . Для выполнения условий этого определения не требуется, что-бы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функ-ция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разры-ва, но подробнее об этом поговорим ниже.Определение. Точка х0 называ-ется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.Функция назыв. непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и . Свой-ства функций, непрерывных в точке: 1)если функции f(x) и g(x) непре-рывны в точке x₀, то их алгебраи-ческая сумма f(x)±g(x), произведение f(x)*g(x) и частное f(x)/g(x) (при усло-вии g(x)≠0) явл.функциями, непреры-вными в точке x₀;2)если функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x)>0, то сущ.такая окрестность точки x₀, в которой f(x)>0;3)если функция y=f(u) непрерывна в точке u₀, а функция u=φ(x) непрерывна в точке x_0, φ(x₀)=u₀, то сложная функция y=f(φ(x)) непрерывна в очке x₀; или , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Дата добавления: 2015-07-10