Производная функции, ее геоме-трический и экономический смысл

Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ∆x, при ∆x→0 (если этот предел существует и конечен), т.е . Обозначают: ,: . Производ-ной функции в точке справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен).

Обозначают:: – производная y=f(x) в точке справа,

– производная y=f(x) в точке слева. Функция y=f(x) имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем . Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна. Геоме-трический смысл. Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)

Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)). Проведем секущую MoM1. Пусть – угол наклона секущей MoM1 относи-тельно оси 0х. Если сущ. пре-дел, то прямая, проходящая через Mo и образующая с осью 0х угол, называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно пони-мать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx0. Пусть N(xo+Dx; f(xo)) – точка, дополняющая отрезок MoM1 до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN парал-лельна оси 0х, то переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx→0, получим Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x0) – это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)). Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo; f(xo)) в виде y=kx+b. Так как Mo f(x), то должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) – kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f(x0) – kx0=f(x0)+k(x – x0).

Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f'(x0)(x – x0). Экономический смысл. К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная скло-нность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инстру-мент исследования и описания эконом. явлений, посредством кото-рого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная высту-пает как скорость изменения некото-рого экономического объекта (про-цесса) с течением времени или отно-сительно другого исследуемого фактора. Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополни-тельные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции, где . Используя равенство MC=TC() предель-ные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние предста-влены как функция от выпускаемого количества продукции. Предельная выручка MR (marginal revenue) – это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: . Для хозяйствующее-го субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR – выручка (total revenue); P – цена (price). Таким образом , Þ MR= P. Это равенство верно для рынка совершен-ной конкуренции. Любой индивид испол.свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбере-жение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохо-да:Y= C(Y) + S(Y). Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста лич-ного потребления в приросте дохода: ). По мере увеличения доходов MPC умень-шается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предель-ная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save): ).

6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое диффе-ренцирование. Производные выс-ших порядков. К основным правилам дифференцирования относят:вынесе-ние постоянного множителя за знак производной; производная произве-дения функций; , C R. Произвольный множитель мож-но выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

производная суммы, производная разности; , производная произведения фун-кций , производная частного двух функций (производная дроби). . Логарифми-ческим дифференцированием назы-вается метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем нату-ральные логарифмы от обеих частей: . Теперь продифферен-цируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

. Отсюда видно, что искомая производная равна . Производные высших по-рядков явно заданной функции

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" . Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, назы-вается производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'. Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))¢. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).

7.Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и . Раскрытие неопределенностей вида ; ; ; ; . В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахож-дения пределов функций, раскры-вающий неопределённости вида 0 / 0 и ∞/∞. Обосновывающая метод теоре-ма утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их произво-дных. Правило говорит, что если фун-кции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий: . Или ;

в некоторой окрестности точки a, тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство). Неопреде-ленности типа 0*∞ и ∞-∞ также целесообразно приводить к виду 0/0 следующими преобразованиями . Для раскрытия неоп-ределенностей типа ; ; . Целе-сообразно первоначально прологари-фмировать выражения, предел которых требуется найти. Дру-гим общим методом раскрытия неопреде-ленностей типа и и сводимых к ним является Лопита ля правило.

8.Дифференциал функции. Связь дифференциала и производной. Испол.дифференциала в приближе-нных вычислениях. Дифференциа-лом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее прира-щения, равная произведению произво-дной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифферен-циал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х. Так как у'=х'=1, то, согласно формуле имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал незави-симой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х. Поэтому формулу можно записать так: dy=ƒ'(х)dх, иными словами, диффе-ренциал функции равен произве-дению производной этой функции на дифференциал независимой перемен-ной. Из формулы следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

Производной dy/dx можно рассма-тривать как отношение дифферен-циалов dy и dх. Связь дифференциала и производной. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.

LimΔx→0 (Δf(x0)/Δx)=limΔx→0 ((f(x+Δx)-f(x0))/Δx)=f`(x0). Нахожде-ние производной называется диффе-ренцированием. Вводится опреде-ление дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Использование диффе-ренциала в приближенных вычис-лениях, как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Это равенство позволяет с большой точностью вычи-слить приближенно приращение лю-бой дифференцируемой функции.

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и недо-статочные условия сущ. экстре-мума. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неполо-жительное. Если в дополнение прира-щение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Моно-тонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение фун-кции. Функция убывает, если больше-му значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она назы-вается монотонной на этом проме-жутке. Если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Свойства монотонных функций. Сум-ма нескольких возрастающих функ-ций является возрастающей функ-цией. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возра-стающая функция. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая конс-танта. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает. Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где n ∈ N, также возрастает. Если функция f возрастает и n – нечетное число, то fn также возрастает. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. Точки максимума и мини-мума называются точками экстре-мума, а значения функции в этих точ-ках - ее экстремумами. Промежутки возрастания и убывания. Функция f(x) называется возрастающей на проме-жутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Функция f(x) называется убыва-ющей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Необходи-мые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функ-ции следует искать среди ее крити-ческих точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет max, в противном случае - min. Если при пе-реходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точ-ке xо экстремума нет. Второе доста-точное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо прив-лекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наиболь-шего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

10.Исследование функции на выпу-клость и вогнутость. Точки переги-ба. Дифференцируемая функция на-зывается выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференци-руемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Вы-пуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Дру-гими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касса-тельная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Необходимое условие сущ. точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некото-рой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то =0. Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k-раз непрерывно дифференцируема, при-чем k нечётно и k≥3, и при n=2,3,…,k-1 а , то функция f(x) имеет в точку перегиба. Второе достаточное условие существования точки перегиба: Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю, а третья не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба.

Дата добавления: 2015-07-10